Questão 3: (20 Pts) Considere a função f dada por f(x)=x^42-x^2, definida no intervalo fechado [-1 / 2,2]. Determine os extremos absolutos de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^42-x^2
no intervalo fechado l[-tfrac12,2r] e pede os extremos absolutos. Como f é polinomial (logo contínua) num intervalo fechado, ela atinge mínimo e máximo. Vamos usar derivada para achar pontos críticos, depois avaliar esses pontos e os extremos do intervalo e comparar os valores.

Passo 2

Calculamos a derivada e encontramos os pontos críticos em l(-tfrac12,2r):
f'(x)=ddxl(x^42-x^2r) =2x^3-2x =2x,(x^2-1)
Igualando a zero vem
2x,(x^2-1)=0 Longrightarrow x=0,;x=pm1
No intervalo l[-tfrac12,2r] só cabem x=0 e x=1.

Passo 3

Avaliamos f nos pontos x=-tfrac12,,0,,1,,2:
fl(-tfrac12r) =l(-tfrac12r)^42-l(-tfrac12r)^2 =tfrac1162-tfrac14 =tfrac132-tfrac14 =-tfrac732
f(0)=0^42-0^2=0
f(1)=1^42-1^2 =tfrac12-1 =-tfrac12
f(2)=2^42-2^2 =162-4 =8-4 =4

Passo 4

Comparando os valores:
-tfrac732approx -0,21875,; 0,; -tfrac12=-0,5,; 4,
vemos que o menor é -tfrac12 em x=1 e o maior é 4 em x=2.

Resposta

O valor mínimo absoluto é f(1)=-tfrac12 e o valor máximo absoluto é f(2)=4.

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