Calcule a integral do campo vetorial F(x, y)=(-y, x) ao longo da elipse
x^29+y^24=1
no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCFcdot dr
onde F(x,y)=(-y,x) e C é a elipse
x^29+y^24=1
orientada no sentido anti-horário. O conteúdo envolve integrais de linha em campos vetoriais e o Teorema de Green para converter a integral de contorno em uma integral de área.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo; para isso calculamos o rotacional (em 2D, partial Q/partial x - partial P/partial y). Como
P(x,y)=-y, Q(x,y)=x,
temos
partial Qpartial x=1, partial Ppartial y=-1,
logo o rotacional é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1-(-1)=2neq0,
portanto o campo não é conservativo e podemos usar o Teorema de Green.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA =integral duplaD2,dA,
onde D é a região interna à elipse.

Passo 4

Calcular a área de D: para a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 a área é pi a b. Aqui a=3 e b=2, então
Área(D)=picdot3cdot2=6pi Á

Passo 5

Substituindo na integral de área:
integral duplaD2,dA = 2cdot Área(D) = 2cdot6pi = 12pi Á

Resposta

ointCFcdot dr = 12pi

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