Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da elipse
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a elipse
orientada no sentido anti-horário. O conteúdo envolve integrais de linha em campos vetoriais e o Teorema de Green para converter a integral de contorno em uma integral de área.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo; para isso calculamos o rotacional (em 2D,
). Como
temos
logo o rotacional é
portanto o campo não é conservativo e podemos usar o Teorema de Green.
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
onde
é a região interna à elipse.
Passo 4
Calcular a área de
: para a elipse
a área é
. Aqui
e
, então
Passo 5
Substituindo na integral de área: