QUESTÃO 2. (25 Pts) Dado o conjunto \mathrm{S}=\{(-1,0,1),(1,-2,1),(1,2,2)\} um subconjunto de \mathrm{V}=\mathrm{R}^{3}, verificar se S é uma base de V e se \vec{v}=(-2,3,-3) é gerado por S .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
Perguntas: verificar (1) se S é uma base de V e (2) se \vec{v}=(-2,3,-3) é gerado por S.\n
Dados: o subconjunto S\subset V=\mathrm{R}^{3} é
S=\{(-1,0,1),\;(1,-2,1),\;(1,2,2)\}
e o vetor a verificar é
\vec{v}=(-2,3,-3).
Essas são todas as informações do enunciado.
Passo 2
O que significa ser base e como vamos testar (breve aula)\n
Definição (em palavras): um conjunto de vetores é base de \mathrm{R}^{3} se (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram todo \mathrm{R}^{3} (ou equivalentemente, se há exatamente 3 vetores linearmente independentes em \mathrm{R}^{3}).\n
Para verificar linearmente independência de três vetores em \mathrm{R}^{3} usamos o determinante: formamos a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.\n
Para verificar se \vec{v} é gerado por S precisamos ver se existem escalares a,b,c tais que
a(-1,0,1)+b(1,-2,1)+c(1,2,2)=(-2,3,-3).
Se existir solução, \vec{v} está no span(S). Como S tem 3 vetores em \mathrm{R}^3, se mostrarmos que são independentes, automaticamente span(S)=\mathrm{R}^3 e todo vetor de \mathrm{R}^3 (em particular \vec{v}) será gerado por S. Vou calcular o determinante para testar independência e depois resolver o sistema para encontrar a,b,c.
Passo 3
Montar a matriz e calcular o determinante (passo a passo)\n
Coloco os vetores de S como colunas da matriz A:
Interpretação do determinante e conclusão sobre base\n
Encontramos \det(A)=10\neq 0. Isso significa que as colunas de A (ou seja, os vetores de S) são linearmente independentes.\n
Como temos exatamente 3 vetores em \mathrm{R}^{3} e eles são linearmente independentes, conclui-se que eles formam uma base de \mathrm{R}^{3}. Em outras palavras, S gera \mathrm{R}^{3} e é independente linearmente, logo S é uma base de V=\mathrm{R}^{3}.
Passo 5
Montar o sistema para escrever \vec{v} como combinação linear (metodologia)\n
Queremos a,b,c tais que
a(-1,0,1)+b(1,-2,1)+c(1,2,2)=(-2,3,-3).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema linear
\begin{cases} -a + b + c = -2,\\[4pt] -2b + 2c = 3,\\[4pt] a + b + 2c = -3. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por substituição (passo a passo, sem pular contas).]
Passo 6
Resolver o sistema por substituição (contas detalhadas)\n
Da primeira equação isolamos a:
-a + b + c = -2 \quad\Rightarrow\quad a = 2 + b + c.
a = 2 + b + c = 2 -\frac{19}{10} - \frac{2}{5} = \frac{20}{10} - \frac{19}{10} - \frac{4}{10} = -\frac{3}{10}.
Passo 7
Verificação rápida (checar que a solução satisfaz as equações)\n
Substituo a=-\tfrac{3}{10}, b=-\tfrac{19}{10}, c=-\tfrac{2}{5} nas três componentes:\n
Primeira componente:
As três componentes conferem com (-2,3,-3), então a solução está correta.
Passo 8
Conclusão final (didática e incentivo)\n
Concluímos que S é uma base de \mathrm{R}^{3} porque as três colunas da matriz associada têm determinante 10\neq 0, logo são linearmente independentes e geram \mathrm{R}^{3}.\n
Concluímos também que \vec{v}=(-2,3,-3) é gerado por S porque existe a combinação linear encontrada com coeficientes a=-\tfrac{3}{10}, b=-\tfrac{19}{10}, c=-\tfrac{2}{5}. Assim \vec{v} pertence ao span(S). Parabéns — apesar do aperto, deu certinho!
Resposta
Sim. S é uma base de \mathrm{R}^{3}.\n
Sim. \vec{v}=(-2,3,-3) pertence ao span(S); os coeficientes são a=-\tfrac{3}{10}, b=-\tfrac{19}{10}, c=-\tfrac{2}{5} (ou seja, as coordenadas de \vec{v} na base S são \left(-\tfrac{3}{10},-\tfrac{19}{10},-\tfrac{2}{5}\right)).