QUESTÃO 2. (25 Pts) Dado o conjunto \mathrm{S}=\{(-1,0,1),(1,-2,1),(1,2,2)\} um subconjunto de \mathrm{V}=\mathrm{R}^{3}, verificar se S é uma base de V e se \vec{v}=(-2,3,-3) é gerado por S .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Perguntas: verificar (1) se S é uma base de V e (2) se \vec{v}=(-2,3,-3) é gerado por S.\n
  • Dados: o subconjunto S\subset V=\mathrm{R}^{3} é
S=\{(-1,0,1),\;(1,-2,1),\;(1,2,2)\}
e o vetor a verificar é
\vec{v}=(-2,3,-3).
Essas são todas as informações do enunciado.

Passo 2

O que significa ser base e como vamos testar (breve aula)\n
  • Definição (em palavras): um conjunto de vetores é base de \mathrm{R}^{3} se (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram todo \mathrm{R}^{3} (ou equivalentemente, se há exatamente 3 vetores linearmente independentes em \mathrm{R}^{3}).\n
  • Para verificar linearmente independência de três vetores em \mathrm{R}^{3} usamos o determinante: formamos a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.\n
  • Para verificar se \vec{v} é gerado por S precisamos ver se existem escalares a,b,c tais que
a(-1,0,1)+b(1,-2,1)+c(1,2,2)=(-2,3,-3).
Se existir solução, \vec{v} está no span (S). Como S tem 3 vetores em \mathrm{R}^3, se mostrarmos que são independentes, automaticamente span (S)=\mathrm{R}^3 e todo vetor de \mathrm{R}^3 (em particular \vec{v}) será gerado por S. Vou calcular o determinante para testar independência e depois resolver o sistema para encontrar a,b,c.

Passo 3

Montar a matriz e calcular o determinante (passo a passo)\n
Coloco os vetores de S como colunas da matriz A:
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de A por expansão pela primeira linha (mostro cada menor):
\det(A)=(-1)\det\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} - (1)\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} + (1)\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora os 3 determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=(-2)\cdot 2 - 2\cdot 1 = -4 - 2 = -6,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=0\cdot 2 - 2\cdot 1 = -2,
\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = 2.
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot(-6) - 1\cdot(-2) + 1\cdot 2 = 6 + 2 + 2 = 10.]

Passo 4

Interpretação do determinante e conclusão sobre base\n
  • Encontramos \det(A)=10\neq 0. Isso significa que as colunas de A (ou seja, os vetores de S) são linearmente independentes.\n
  • Como temos exatamente 3 vetores em \mathrm{R}^{3} e eles são linearmente independentes, conclui-se que eles formam uma base de \mathrm{R}^{3}. Em outras palavras, S gera \mathrm{R}^{3} e é independente linearmente, logo S é uma base de V=\mathrm{R}^{3}.

Passo 5

Montar o sistema para escrever \vec{v} como combinação linear (metodologia)\n
Queremos a,b,c tais que
a(-1,0,1)+b(1,-2,1)+c(1,2,2)=(-2,3,-3).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema linear
\begin{cases} -a + b + c = -2,\\[4pt] -2b + 2c = 3,\\[4pt] a + b + 2c = -3. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por substituição (passo a passo, sem pular contas).]

Passo 6

Resolver o sistema por substituição (contas detalhadas)\n
Da primeira equação isolamos a:
-a + b + c = -2 \quad\Rightarrow\quad a = 2 + b + c.
Substituo esse a na terceira equação:
(2 + b + c) + b + 2c = -3.
Agrupo termos:
2 + 2b + 3c = -3 \quad\Rightarrow\quad 2b + 3c = -5. \tag{I}
A segunda equação é
-2b + 2c = 3. \tag{II}
Agora resolvo o sistema formado por (I) e (II). Da (II) isolo b:
-2b + 2c = 3 \quad\Rightarrow\quad -2b = 3 - 2c \quad\Rightarrow\quad b = \frac{2c-3}{2}.
Substituo em (I):
2\left(\frac{2c-3}{2}\right) + 3c = -5.
Isso simplifica para
(2c-3) + 3c = -5 \quad\Rightarrow\quad 5c -3 = -5 \quad\Rightarrow\quad 5c = -2 \quad\Rightarrow\quad c = -\frac{2}{5}.
Agora obtenho b:
b = \frac{2c-3}{2} = \frac{2\left(-\tfrac{2}{5}\right)-3}{2} = \frac{-\tfrac{4}{5}-\tfrac{15}{5}}{2} = \frac{-\tfrac{19}{5}}{2} = -\frac{19}{10}.
E a é
a = 2 + b + c = 2 -\frac{19}{10} - \frac{2}{5} = \frac{20}{10} - \frac{19}{10} - \frac{4}{10} = -\frac{3}{10}.

Passo 7

Verificação rápida (checar que a solução satisfaz as equações)\n
Substituo a=-\tfrac{3}{10}, b=-\tfrac{19}{10}, c=-\tfrac{2}{5} nas três componentes:\n
Primeira componente:
-a+b+c = -\left(-\tfrac{3}{10}\right) -\tfrac{19}{10} - \tfrac{4}{10} = \tfrac{3-19-4}{10} = -\tfrac{20}{10} = -2.
Segunda componente:
-2b+2c = -2\left(-\tfrac{19}{10}\right)+2\left(-\tfrac{4}{10}\right)=\tfrac{38-8}{10}=\tfrac{30}{10}=3.
Terceira componente:
a+b+2c = -\tfrac{3}{10}-\tfrac{19}{10}+2\left(-\tfrac{4}{10}\right)= -\tfrac{3+19+8}{10}=-\tfrac{30}{10}=-3.
As três componentes conferem com (-2,3,-3), então a solução está correta.

Passo 8

Conclusão final (didática e incentivo)\n
  • Concluímos que S é uma base de \mathrm{R}^{3} porque as três colunas da matriz associada têm determinante 10\neq 0, logo são linearmente independentes e geram \mathrm{R}^{3}.\n
  • Concluímos também que \vec{v}=(-2,3,-3) é gerado por S porque existe a combinação linear encontrada com coeficientes a=-\tfrac{3}{10}, b=-\tfrac{19}{10}, c=-\tfrac{2}{5}. Assim \vec{v} pertence ao span (S). Parabéns — apesar do aperto, deu certinho!

Resposta

Sim. S é uma base de \mathrm{R}^{3}.\n
Sim. \vec{v}=(-2,3,-3) pertence ao span (S); os coeficientes são a=-\tfrac{3}{10}, b=-\tfrac{19}{10}, c=-\tfrac{2}{5} (ou seja, as coordenadas de \vec{v} na base S são \left(-\tfrac{3}{10},-\tfrac{19}{10},-\tfrac{2}{5}\right)).

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