Questão 2: (20Pts) Seja
uma sequência definida por
e
.
a) (
) Encontre os três primeiros termos da sequência
.
b) (
) Mostre que
é monótona.
c) (
) Mostre que
é limitada.
d) (
) A sequência
converge? Se sim, encontre seu limite. Justifique sua resposta!
a) (
b) (
c) (
d) (
Passo 1
O enunciado define uma sequência pela relação de recorrência
e pede:
– (a) os três primeiros termos;
– (b) provar que é monótona;
– (c) provar que é limitada;
– (d) concluir se converge e achar seu limite.
O conteúdo é análise de sequências (monotonia, limite e teorema da convergência de sequências monotônicas).
– (a) os três primeiros termos;
– (b) provar que
– (c) provar que
– (d) concluir se converge e achar seu limite.
O conteúdo é análise de sequências (monotonia, limite e teorema da convergência de sequências monotônicas).
Passo 2
Para gerar os termos, basta aplicar a definição:
Passo 3
Queremos mostrar que
é monótona. Primeiro notamos que
Suponha por indução que
. Então
porque
. Além disso,
Logo, por indução,
e
para todo
, ou seja, é monótona decrescente.
Passo 4
Para a parte de ser limitada, já vimos que
. E como
e
, temos
Portanto a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 5
Pelo Teorema da convergência de sequências monotônicas, uma sequência monótona decrescente e limitada converge. Seja
Como
e ambos os lados convergem para
, temos
Resposta
(a)
(b) é monótona decrescente.
(c) é limitada:
.
(d) Sim, converge e .
(b)
(c)
(d) Sim, converge e