Questão 2: (20Pts) Seja an uma sequência definida por a1=2 e an+1=1+an2, n >= 1.
a) ( 2 P t s ) Encontre os três primeiros termos da sequência an.
b) ( 6 P t s ) Mostre que an é monótona.
c) ( 6 P t s ) Mostre que an é limitada.
d) ( 6 P t s ) A sequência an converge? Se sim, encontre seu limite. Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado define uma sequência pela relação de recorrência
a1=2, an+1=1+an2;(n>=1)
e pede:
– (a) os três primeiros termos;
– (b) provar que an é monótona;
– (c) provar que an é limitada;
– (d) concluir se converge e achar seu limite.
O conteúdo é análise de sequências (monotonia, limite e teorema da convergência de sequências monotônicas).

Passo 2

Para gerar os termos, basta aplicar a definição:
a1=2,
a2=1+a12=1+22=32,
a3=1+a22=1+322=522=54

Passo 3

Queremos mostrar que an é monótona. Primeiro notamos que
a1=2>1
Suponha por indução que an>1. Então
an+1=1+an2<an+an2=an
porque 1<an. Além disso,
an+1=1+an2>1+12=1
Logo, por indução, an>1 e an+1<an para todo n, ou seja, é monótona decrescente.

Passo 4

Para a parte de ser limitada, já vimos que an+1>!1. E como an+1<an e a1=2, temos
1<an<= a1=2forall n
Portanto a sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2.

Passo 5

Pelo Teorema da convergência de sequências monotônicas, uma sequência monótona decrescente e limitada converge. Seja
L=limntoinftyan
Como an+1=(1+an)/2 e ambos os lados convergem para L, temos
L=1+L2 Longrightarrow 2L=1+L Longrightarrow L=1

Resposta

(a) a1=2,;a2=tfrac32,;a3=tfrac54
(b) an é monótona decrescente.
(c) an é limitada: 1<an<=2.
(d) Sim, converge e limntoinftyan=1.

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