Resolver a equação diferencial dada por coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em:
- Encontrar a solução geral da homogênea associada (achar raízes do polinômio característico).
- Supor um ansatz para a parte particular devida ao termo polinomial
. - Supor outro ansatz para a parte particular devida ao termo exponencial
, cuidando de multiplicar por potências de se houver ressonância. - Somar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Para a homogênea fazemos o polinômio característico
Note que isso é
, logo temos raiz
de multiplicidade 3. Portanto
Passo 3
Agora a parte particular do termo polinomial
. Como o lado direito tem um polinômio de grau 1 e
não é raiz do característico, tentamos
Calculando as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Comparando coeficientes:
Logo
Passo 4
Para a parte exponencial
vemos que
corresponde à raiz
de multiplicidade 3, então há ressonância de ordem 3. O ansatz fica
Seja
. Ao aplicar
em
usamos que
. Assim
porque a terceira derivada de
é
. Isso deve dar
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com as duas partes particulares:
Podemos agrupar termos exponenciais: