Resolver a equação diferencial dada por coeficientes indeterminados.
y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=x-4 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 3y' - y = x - 4e^x
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em:
  1. Encontrar a solução geral da homogênea associada (achar raízes do polinômio característico).
  2. Supor um ansatz para a parte particular devida ao termo polinomial x.
  3. Supor outro ansatz para a parte particular devida ao termo exponencial -4e^x, cuidando de multiplicar por potências de x se houver ressonância.
  4. Somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Para a homogênea fazemos o polinômio característico
r^3 -3r^2 +3r -1 = 0
Note que isso é (r-1)^3=0, logo temos raiz r=1 de multiplicidade 3. Portanto
yh(x) = l(C1 + C2 x + C3 x^2r)e^x

Passo 3

Agora a parte particular do termo polinomial x. Como o lado direito tem um polinômio de grau 1 e r=0 não é raiz do característico, tentamos
yp1(x) = B,x + C
Calculando as derivadas:
yp1' = B, yp1''=0, yp1'''=0
Substituindo em y''' -3y'' +3y' - y = x obtemos
0 - 3cdot0 +3B - (B x + C) = -B x + (3B - C) = x
Comparando coeficientes:
-,B = 1 Rightarrow B = -1, 3B - C = 0 Rightarrow C = -3
Logo
yp1(x) = -,x - 3

Passo 4

Para a parte exponencial -4e^x vemos que e^x corresponde à raiz r=1 de multiplicidade 3, então há ressonância de ordem 3. O ansatz fica
yp2(x) = A,x^3 e^x
Seja P(D)=D^3-3D^2+3D-1=(D-1)^3. Ao aplicar P(D) em A,x^3 e^x usamos que (D-1)l(u(x)e^xr)=u'(x)e^x. Assim
P(D)l(Ax^3e^xr) = A,(D-1)^3(x^3),e^x = Acdot x^3,(3),e^x = Acdot 6,e^x,
porque a terceira derivada de x^3 é 6. Isso deve dar -4e^x, logo
6A = -4 Rightarrow A = -23
Portanto
yp2(x) = -23,x^3 e^x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as duas partes particulares:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x) = l(C1 + C2 x + C3 x^2r)e^x ;-; x - 3 ;-;23x^3 e^x
Podemos agrupar termos exponenciais:
y(x) = e^xl(C1 + C2 x + C3 x^2 - tfrac23x^3r);-;x - 3

Resposta

boxedy(x) = e^xl(C1 + C2 x + C3 x^2 - tfrac23x^3r);-;x - 3

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