Questão 3: (42 Pts) Verifique se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou se divergem:
sumn=1^+infty cos (n pi)2^n-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty cos(npi)2^n-1
e decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar o conceito de convergência absoluta (isto é, verificar se sum|an| converge) e reconhecer séries geométricas.

Passo 2

Note que
cos(npi)=(-1)^n,
então o termo geral da nossa série fica
an=(-1)^n2^n-1

Passo 3

Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty |an| =sumn=1^infty l|(-1)^nr|2^n-1 =sumn=1^infty 12^n-1 =sumn=1^infty l(tfrac12r)^n-1
Essa é uma série geométrica de razão r=tfrac12, e como |r|<1 ela converge (a soma é 1/(1-r)=2, mas o valor exato não é essencial para afirmar a convergência).

Passo 4

Como sum|an| converge, a série original converge absolutamente. E toda série que converge absolutamente também converge de modo convencional.

Resposta

A série sumn=1^infty cos(npi)2^n-1 converge absolutamente.

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