Questão 3: (42 Pts) Verifique se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou se divergem:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e decidir se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar o conceito de convergência absoluta (isto é, verificar se converge) e reconhecer séries geométricas.
Passo 2
Note que
então o termo geral da nossa série fica
Passo 3
Para testar a convergência absoluta, consideramos
Essa é uma série geométrica de razão r=tfrac12, e como |r|<1 ela converge (a soma é 1/(1-r)=2, mas o valor exato não é essencial para afirmar a convergência).
Passo 4
Como sum|an| converge, a série original converge absolutamente. E toda série que converge absolutamente também converge de modo convencional.
Resposta
A série sumn=1^infty cos(npi)2^n-1 converge absolutamente.