Questão 21

Um bloco de massa m=3 kg está ligado a uma mola de massa desprezível e constante elástica \mathrm{k}=600 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema é submerso em um meio viscoso e posto para oscilar. Verifica-se que a frequência angular de oscilação no meio é \omega=14 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
(a) Qual é o coeficiente de amortecimento do meio viscoso?
(b) Posteriormente o bloco, dentro do meio viscoso, é submetido a uma força harmônica F(t)=180 \mathrm{~N} \cos (\omega ext t), sendo Wext a frequência angular dessa força. Varia-se Wext até que esta atinja a frequência angular de ressonância Wres. Qual é o valor de Wres?
(c) Nesta frequência, e no regime estacionário, qual é o valor da amplitude de oscilação do bloco?
d) Varia-se novamente Wext de tal forma que, com um ajuste muito fino, atinja-se o máximo da amplitude de oscilação, Amax. Qual é o valor de \omega ext para o qual A(\omega ext )=A max?
e) Qual é o valor de Amax?

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco de massa m=3,kg preso a uma mola de constante k=600,N/m em um meio viscoso com coeficiente de amortecimento \alpha desconhecido. Observa-se que a frequência angular amortecida é \omega=14,rad/s. Em seguida aplica-se uma força harmônica F(t)=180,N \cos(\omega_{\mathrm{ext}}t) e varia-se \omega_{\mathrm{ext}} para estudar ressonância e amplitude máxima. Vamos usar:
  1. Equação do oscilador amortecido para achar \alpha.
  2. Fórmula de amplitude em regime estacionário para força externa e determinar a frequência de ressonância \omega_{\mathrm{res}}.
  3. Cálculo da amplitude nessa frequência e do valor máximo de A.

Passo 2

Em um oscilador amortecido sem força externa, a equação é
m\ddot x + \alpha \dot x + k x = 0.
Definindo
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad b = \frac{\alpha}{2m},
a frequência amortecida satisfaz \omega = \sqrt{\omega_0^2 - b^2}.
Aqui
\omega_0 = \sqrt{\frac{600}{3}} = \sqrt{200}\,\text{rad/s}, \quad \omega = 14\,\text{rad/s}.
Logo
b^2 = \omega_0^2 - \omega^2 = 200 - 196 = 4 \;\Longrightarrow\; b = 2\,\text{s}^{-1},
e
\alpha = 2m\,b = 2\cdot3\cdot2 = 12\,\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Para a oscilação forçada
m\ddot x + \alpha \dot x + k x = F_0\cos(\omega_{\mathrm{ext}}t), \qquad F_0 = 180\,\mathrm{N},
a amplitude em regime estacionário é
A(\omega_{\mathrm{ext}}) = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega_{\mathrm{ext}}^2)^2 + (\alpha\,\omega_{\mathrm{ext}})^2}}.
O pico de A ocorre em
\omega_{\mathrm{res}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\,b^2} = \sqrt{200 - 8} = \sqrt{192} = 8\sqrt3 \approx 13{,}86\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Em \omega_{\mathrm{ext}} = \omega_{\mathrm{res}} calculamos
k - m\,\omega_{\mathrm{res}}^2 = 2m\,b^2 = 2\cdot3\cdot4 = 24, \qquad \alpha\,\omega_{\mathrm{res}} = 12\cdot8\sqrt3 = 96\sqrt3.
Assim
A(\omega_{\mathrm{res}}) = \frac{180}{\sqrt{24^2 + (96\sqrt3)^2}} = \frac{180}{\sqrt{576 + 27648}} = \frac{180}{168} \approx 1{,}07\\ \mathrm{m}.

Passo 5

O ajuste fino para maximizar A leva precisamente a
\omega_{\mathrm{ext}} = \omega_{\mathrm{res}} \approx 13{,}86\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

O valor máximo da amplitude em regime estacionário é
A_{\max} = A(\omega_{\mathrm{res}}) \approx 1{,}07\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \alpha = 12\\ \mathrm{kg/s}
(b) \omega_{\mathrm{res}} = 8\sqrt3 \approx 13{,}86\\ \mathrm{rad/s}
(c) A(\omega_{\mathrm{res}})\approx 1{,}07\\ \mathrm{m}
(d) \omega_{\mathrm{ext}} = \omega_{\mathrm{res}} \approx 13{,}86\\ \mathrm{rad/s}
(e) A_{\max}\approx 1{,}07\\ \mathrm{m}

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