Questão 22
Um carro e seu motorista, com massa total \mathrm{m}=900 \mathrm{~kg}, trafegam por uma estrada cheia de “lombadinhas” separadas por uma distância média de \lambda=3 \mathrm{~m}. Cada lombadinha tem uma altura média de 10 cm e promove uma força periódica do tipo F(t)=F 0 \cos (\omega ext t) nos amortecedores do carro. O carro passa por essas ondulações com velocidade constante \mathrm{V}=1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, entrando em ressonância. Sabe-se que a constante de amortecimento dos amortecedores do carro é \mathrm{b}=k \mathrm{~m} \sqrt{ } / 4.
(a) Com os dados fornecidos, determine a constante elástica efetiva do conjunto de amortecedores do carro.
b) A amplitude de força F 0 da força periódica F(t) pode ser estimada a partir da constante elástica da mola dos amortecedores e da altura média das lombadinhas. Obtenha o valor de F0.
c) Com que amplitude o carro oscila?
(d) O motorista, percebendo o chacoalho do carro, aumenta a velocidade para 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} visando minimizar o efeito da ressonância. Ele está tomando a atitude correta? Como fica a amplitude de oscilação do carro nesta nova condição?

Passo 1

O enunciado trata de um carro de massa total m=900\rm\;kg que recebe uma força periódica ao passar por lombadinhas de espaçamento médio \lambda=3\rm\;m e altura média h=0{,}10\rm\;m. A força nos amortecedores é do tipo
F(t)=F_0\cos(\omega_{\rm ext}t),
há amortecimento linear com coeficiente
b=\frac{\sqrt{k\,m}}{4},
e o carro trafega à velocidade V. Na condição V=1{,}5\rm\;m/s o sistema entra em ressonância. Vamos usar o modelo de oscilador forçado e amortecido para:
(a) determinar a constante elástica k,
(b) estimar F_0,
(c) achar a amplitude de oscilação em ressonância,
(d) verificar o efeito de dobrar a velocidade para V=3\rm\;m/s.

Passo 2

Ao passar por lombadinhas espaçadas de \lambda com velocidade V, a frequência de excitação é
f_{\rm ext}=\frac{V}{\lambda},
logo a pulsação é
\omega_{\rm ext}=2\pi\,f_{\rm ext}=2\pi\,\frac{V}{\lambda}.
Para V=1{,}5\rm\;m/s e \lambda=3\rm\;m:
\omega_{\rm ext} =2\pi\frac{1{,}5}{3} =\pi\rm\;rad/s.

Passo 3

Em ressonância a pulsação de excitação iguala a natural:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega_{\rm ext}=\pi.
Desse modo
k=m\,\omega_{\rm ext}^2 =900\cdot\pi^2\approx900\cdot9{,}8696 \approx8{,}883\;\rm N/m.

Passo 4

A amplitude F_0 pode ser estimada pela rigidez da mola e pela altura da lombadinha, como se a mola fosse comprimida de h, isto é
F_0=k\,h \approx8{,}883\cdot0{,}10 =888{,}3\;\rm N.

Passo 5

A amplitude de oscilação em regime estacionário para um oscilador forçado e amortecido é
X(\omega) =\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\,\omega)^2}}.
Em ressonância \omega=\omega_0 o termo k-m\omega_0^2 anula-se e resta
X_{\rm res} =\frac{F_0}{b\,\omega_0}.
Como b=\tfrac{\sqrt{k\,m}}{4}= \tfrac{m\,\omega_0}{4}, temos
b\,\omega_0 =\frac{m\,\omega_0^2}{4} =\frac{k}{4},
logo
X_{\rm res} =\frac{F_0}{\,k/4\,} =4\,\frac{F_0}{k} =4\,h =4\cdot0{,}10 =0{,}40\rm\;m.

Passo 6

Ao dobrar a velocidade para V=3\rm\;m/s, a nova pulsação de excitação é
\omega_{\rm ext}'=2\pi\frac{3}{3}=2\pi\;\rm rad/s.
A nova amplitude é
X' =\frac{F_0}{\sqrt{(k-m{\omega_{\rm ext}'}^2)^2+(b\,\omega_{\rm ext}')^2}}.
Calculando numericamente:
k-m{\omega_{\rm ext}'}^2 =8{,}883-900\cdot(2\pi)^2 \approx-26{,}649, \quad b\,\omega_{\rm ext}' =\frac{900\,\pi}{4}\cdot2\pi\approx4{,}441,
\sqrt{(-26\,649)^2+4\,441^2}\approx27\,019, \quad X'=\frac{888{,}3}{27\,019}\approx0{,}033\rm\;m.

Passo 7

Como X'=0{,}033\rm\;m\ll X_{\rm res}=0{,}40\rm\;m, ao dobrar a velocidade o carro sai da condição de ressonância e a amplitude cai para cerca de 3{,}3\rm\;cm. Portanto o motorista está tomando a atitude correta para reduzir o chacoalho.

Resposta

(a) k\approx8\,883\rm\;N/m.
(b) F_0\approx888{,}3\rm\;N.
(c) X_{\rm res}=0{,}40\rm\;m.
(d) Sim. A nova amplitude é X'\approx0{,}033\rm\;m.

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