Questão 21. Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{100}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^{100}}.
O conteúdo é limite de funções envolvendo crescimento comparado entre exponencial e polinomial, e vamos usar a regra de L\’Hôpital para formas \infty/\infty.

Passo 2

Ao fazermos x\to\infty, temos
e^x\to\infty \quad\text{e}\quad x^{100}\to\infty,
logo a expressão é da forma \infty/\infty, o que autoriza aplicar a regra de L\’Hôpital: derivamos numerador e denominador até simplificar.

Passo 3

Aplicando L\’Hôpital uma vez, derivamos topo e base:
\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}x^{100} = 100\,x^{99},
portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^{100}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{100\,x^{99}}.
Cada aplicação reduz o expoente de x em 1 e acumula um fator numérico no denominador.

Passo 4

Depois de aplicar L\’Hôpital 100 vezes, o denominador torna-se 100! (fatorial de 100) e o numerador continua e^x. Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^{100}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{100!} =\frac{1}{100!}\,\lim_{x\to\infty}e^x =+\infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

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