Esboce os gráficos de:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é geometria de curvas: vamos achar domínio, interceptos, comportamento para
, derivadas para monotonia e concavidade, e assim identificar pontos críticos, de inflexão e esboçar a curva.
Passo 2
Domínio: todos os reais, pois não há raiz nem divisão por zero.
Intercepto com o eixo :
Intercepto com o eixo
logo o ponto
.
Interceptos com o eixo :
Interceptos com o eixo
Comportamento extremo:
pois
.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada para ver monotonia e pontos críticos:
Zeram
em
e
. O sinal de
é o sinal de
(pois
é zero só em
):
- Em
, : decrescente. - Em
, : crescente.
Ema derivada é zero mas não muda de sinal (de decrescente permanece decrescente em , e de crescente permanece crescente em ); em muda de decrescente para crescente, logo há mínimo local em .
Passo 4
Calculemos a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
As raízes de
são
e
, ou seja
e
. O sinal de
dá:
- Para
, e côncavo para cima. - Para
, côncavo para baixo. - Para
, côncavo para cima.
Logo temos pontos de inflexão eme também em (a concavidade muda “para dentro” em , embora a curva não tenha extremo aí).
Passo 5
Reunindo tudo:
- Simetria par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. - Zeros em
(sela), (sela). - Mínimo local em
. - Pontos de inflexão em
. - Decrescente de
até , continua decrescente até , depois crescente para . - Concavidade varia de cima (fora de
) para baixo (entre e ) e volta para cima (entre e ).
Dessa descrição sai um esboço com formato de “W” suave, só que invertido verticalmente entre
e
, com vale em
e inflexões conforme indicado.
Resposta
O esboço é uma curva par que:
(a) vai de em
, desce concava para cima, chega em
com tangente horizontal, depois torna-se côncava para baixo até
, volta a ser côncava para cima até
(mínimo local), segue simetricamente até
, e em seguida cresce para
.
(a) vai de