Esboce os gráficos de:
\left(x^{2}-1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = \bigl(x^{2} - 1\bigr)^{3}.
O conteúdo envolvido é geometria de curvas: vamos achar domínio, interceptos, comportamento para x\to\pm\infty, derivadas para monotonia e concavidade, e assim identificar pontos críticos, de inflexão e esboçar a curva.

Passo 2

Domínio: todos os reais, pois não há raiz nem divisão por zero.
Intercepto com o eixo y:
f(0)=(-1)^{3}=-1,
logo o ponto (0,-1).
Interceptos com o eixo x:
f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x^{2}-1)^{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pm1.
Comportamento extremo:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty,
pois \bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}\sim x^{6}>0.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada para ver monotonia e pontos críticos:
f'(x)=3\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}\cdot2x=6x\,(x^{2}-1)^{2}.
Zeram f'(x) em x=0 e x=\pm1. O sinal de f'(x) é o sinal de 6x (pois (x^{2}-1)^{2}\ge0 é zero só em \pm1):
  • Em x<0, f'(x)<0: f decrescente.
  • Em x>0, f'(x)>0: f crescente.
    Em x=\pm1 a derivada é zero mas não muda de sinal (de decrescente permanece decrescente em -1, e de crescente permanece crescente em +1); em x=0 muda de decrescente para crescente, logo há mínimo local em (0,-1).

Passo 4

Calculemos a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[6x\,(x^{2}-1)^{2}\bigr] =6\,(x^{2}-1)^{2}+6x\cdot2\,(x^{2}-1)\cdot2x =6\,(x^{2}-1)\,\bigl[(x^{2}-1)+4x^{2}\bigr]
\quad=6\,(x^{2}-1)\,(5x^{2}-1).
As raízes de f''(x)=0 são x^{2}=1 e x^{2}=\tfrac1{5}, ou seja x=\pm1 e x=\pm\tfrac1{\sqrt5}. O sinal de f'' dá:
  • Para |x|>1, x^{2}-1>0 e 5x^{2}-1>0 \Rightarrow f''>0 \Rightarrow côncavo para cima.
  • Para 1/\sqrt5<|x|<1, x^{2}-1<0,\;5x^{2}-1>0 \Rightarrow f''<0 \Rightarrow côncavo para baixo.
  • Para |x|<1/\sqrt5, x^{2}-1<0,\;5x^{2}-1<0 \Rightarrow f''>0 \Rightarrow côncavo para cima.
    Logo temos pontos de inflexão em x=\pm1/\sqrt5 e também em x=\pm1 (a concavidade muda “para dentro” em \pm1, embora a curva não tenha extremo aí).

Passo 5

Reunindo tudo:
  • Simetria par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Zeros em (-1,0) (sela), (1,0) (sela).
  • Mínimo local em (0,-1).
  • Pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt5},f(\pm\tfrac1{\sqrt5})\bigr).
  • Decrescente de +\infty até x=-1, continua decrescente até x=0, depois crescente para +\infty.
  • Concavidade varia de cima (fora de [-1,1]) para baixo (entre \pm1 e \pm1/\sqrt5) e volta para cima (entre \pm1/\sqrt5 e 0).
Dessa descrição sai um esboço com formato de “W” suave, só que invertido verticalmente entre -1 e 1, com vale em (0,-1) e inflexões conforme indicado.

Resposta

O esboço é uma curva par que:
(a) vai de +\infty em x\to-\infty, desce concava para cima, chega em (-1,0) com tangente horizontal, depois torna-se côncava para baixo até -1/\sqrt5, volta a ser côncava para cima até (0,-1) (mínimo local), segue simetricamente até (1,0), e em seguida cresce para +\infty.

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