Esboce os gráficos de:
e^{-x} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = e^{-x}\sqrt{x}
Este exercício envolve conteúdo de análise de funções: estudaremos domínio, limites, derivadas para determinar monotonicidade, máximos, concavidade e inflexão, e com isso construiremos o esboço.

Passo 2

Primeiro analisamos o domínio e os pontos de interceptação com os eixos. A raiz quadrada exige x\ge0, logo o domínio é [0,\infty). Em x=0 temos
f(0)=e^{0}\sqrt{0}=0.
Não há intercepto com o eixo x além de x=0 pois para x>0 f(x)>0. Também não há intercepto com o eixo y além de f(0)=0.

Passo 3

Agora estudamos os limites nas fronteiras do domínio:
Para x\to0^+, note que \sqrt{x}\to0 mais rápido que e^{-x}\to1. Então
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}e^{-x}\sqrt{x} =0.
Para x\to\infty, tem-se e^{-x}\to0 exponencialmente mais rápido que \sqrt{x}\to\infty. Logo
\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}e^{-x}\sqrt{x} =0.
Em ambos os casos a função tende a zero, iniciando em 0, subindo, depois decrescendo de volta a zero.

Passo 4

Para achar extremos, calculamos a derivada. Usando a regra do produto e cadeia:
f(x)=x^{1/2}e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}e^{-x} \;+\; x^{1/2}(-e^{-x}) =e^{-x}x^{-1/2}\Bigl(\tfrac12 - x\Bigr).
A condição f'(x)=0 \tfrac12 - x=0, ou seja
x=\tfrac12.
Testando o sinal de f'(x): para 0<x<\tfrac12 tem \tfrac12-x>0 e f'(x)>0; para x>\tfrac12 fica \tfrac12-x<0 e f'(x)<0. Assim x=\tfrac12 é máximo local. O valor máximo é
f\bigl(\tfrac12\bigr) =e^{-\tfrac12}\sqrt{\tfrac12} =e^{-\tfrac12}\,\frac{1}{\sqrt2}.

Passo 5

Para estudar a concavidade, determinamos a segunda derivada ou analisamos o sinal de
f''(x) =f'(x)\bigl(-1+\tfrac1{2x}\bigr)+e^{-x}x^{-1/2}\bigl(-\tfrac1{2x^2}\bigr)\times x^{1/2}
mas fica mais simples usar o fator comum e estudar o sinal de
1-\frac1{x}-\frac1{4x^2}=0 \;\Longrightarrow\; 4x^2-4x-1=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{1+\sqrt2}{2}\approx1{,}207.
Para 0<x<\frac{1+\sqrt2}{2} a expressão é negativa, indicando concavidade para baixo, e para x>\frac{1+\sqrt2}{2} é positiva, indicando concavidade para cima. Logo há ponto de inflexão em x\approx1{,}207.

Passo 6

Reunindo as informações:
nO ponto inicial em (0,0)
nA função cresce até x=\tfrac12, onde atinge f(\tfrac12)=e^{-1/2}/\sqrt2
nDepois de \tfrac12 ela decresce e tende a zero quando x\to\infty
nÉ côncava para baixo em (0,\tfrac{1+\sqrt2}{2}) e côncava para cima em (\tfrac{1+\sqrt2}{2},\infty).
Com isso podemos esboçar o gráfico qualitativo.

Resposta

O gráfico parte de (0,0), sobe suavemente sendo inicialmente côncavo para baixo até o máximo em x=1/2 com valor e^{-1/2}/\sqrt2, cruza o ponto de inflexão em x\approx1{,}207 e depois volta a decrescer, ficando cada vez mais próximo de zero conforme x\to\infty.

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