Esboce os gráficos de:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Este exercício envolve conteúdo de análise de funções: estudaremos domínio, limites, derivadas para determinar monotonicidade, máximos, concavidade e inflexão, e com isso construiremos o esboço.
Passo 2
Primeiro analisamos o domínio e os pontos de interceptação com os eixos. A raiz quadrada exige
, logo o domínio é
. Em
temos
Não há intercepto com o eixo
além de
pois para
. Também não há intercepto com o eixo
além de
.
Passo 3
Agora estudamos os limites nas fronteiras do domínio:
Para
, note que
mais rápido que
. Então
Para
, tem-se
exponencialmente mais rápido que
. Logo
Em ambos os casos a função tende a zero, iniciando em
, subindo, depois decrescendo de volta a zero.
Passo 4
Para achar extremos, calculamos a derivada. Usando a regra do produto e cadeia:
A condição
dá
, ou seja
Testando o sinal de
: para
tem
e
; para
fica
e
. Assim
é máximo local. O valor máximo é
Passo 5
Para estudar a concavidade, determinamos a segunda derivada ou analisamos o sinal de
mas fica mais simples usar o fator comum e estudar o sinal de
Para
a expressão é negativa, indicando concavidade para baixo, e para
é positiva, indicando concavidade para cima. Logo há ponto de inflexão em
.
Passo 6
Reunindo as informações:
nO ponto inicial em
nA função cresce até , onde atinge
nDepois de ela decresce e tende a zero quando
nÉ côncava para baixo em e côncava para cima em
.
Com isso podemos esboçar o gráfico qualitativo.
nO ponto inicial em
nA função cresce até
nDepois de
nÉ côncava para baixo em
Com isso podemos esboçar o gráfico qualitativo.
Resposta
O gráfico parte de
, sobe suavemente sendo inicialmente côncavo para baixo até o máximo em
com valor
, cruza o ponto de inflexão em
e depois volta a decrescer, ficando cada vez mais próximo de zero conforme
.