Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
g(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-2, \text { se } x>1, \\\ x^{2}, \text { se } x \leq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se esbocem, com detalhes, os gráficos da função definida por partes
g(x)=\begin{cases} 3x-2, & \text{se } x>1,\\[4pt] x^{2}, & \text{se } x\le 1. \end{cases}
Informações fornecidas:
  • Para x\le 1 a função vale g(x)=x^{2}.
  • Para x>1 a função vale g(x)=3x-2.
    O que precisa ser feito: desenhar (esboçar) o gráfico completo de g, mostrando claramente as duas peças, os pontos importantes, continuidade/descontinuidade em x=1, comportamento para x\to\pm\infty e pontos notáveis para orientar o desenho.]

Passo 2

Analisar a peça parabólica \,g(x)=x^{2} para \,x\le 1.
  • A curva y=x^{2} é uma parábola com vértice em (0,0) e abertura para cima.
  • Alguns pontos úteis (todos para a parte x\le 1): (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1). Note que (1,1) pertence à peça porque aqui vale x\le 1.
  • Forma/monotonicidade na região considerada: para x<0 a parábola decresce quando x aumenta (por exemplo de -2 para 0 os valores caem de 4 para 0); para 0\le x\le1 a parábola cresce (por exemplo (0,0) para (1,1)). O mínimo local e global da função, visto em toda a linha real, é (0,0) porque x^{2}\ge 0.

Passo 3

Analisar a peça linear \,g(x)=3x-2 para \,x>1.
  • É uma reta com coeficiente angular (inclinação) 3 e ordenada no eixo y igual a -2 (a reta inteira teria ponto (0,-2), mas lembre que essa reta só vale para x>1).
  • Pontos úteis sobre a reta: em x=1 a expressão dá 3\cdot1-2=1, em x=2 3\cdot2-2=4. Como a peça é só para x>1, o ponto (1,1) não pertence à peça reta (seria um ponto limite da reta à esquerda) — isso será tratado na conexão das peças.
  • A reta é estritamente crescente (slope 3), portanto para x>1 os valores sobem rapidamente.

Passo 4

Verificar a conexão entre as duas peças em x=1 (continuidade).
  • Limite pela esquerda em x=1: \displaystyle\lim_{x\to1^{-}}g(x)=\lim_{x\to1^{-}}x^{2}=1^{2}=1.
  • Limite pela direita em x=1: \displaystyle\lim_{x\to1^{+}}g(x)=\lim_{x\to1^{+}}(3x-2)=3\cdot1-2=1.
  • Valor da função em x=1: como a definição para x\le1 inclui 1, g(1)=1^{2}=1.
    Como limite à esquerda = limite à direita = valor da função em 1, a função é contínua em x=1. No desenho: o ponto (1,1) deve aparecer como um ponto sólido (incluso). A reta para x>1 chega a (1,1) mas não inclui esse ponto (a reta tem um “círculo aberto” em (1,1)); contudo o círculo aberto fica encoberto pelo ponto sólido da parábola — visualmente aparece simplesmente um ponto sólido em (1,1).

Passo 5

Investigar interseções algébricas entre as duas expressões (opcional para entender a forma).
  • Resolver x^{2}=3x-2:
x^{2}-3x+2=0\quad\Rightarrow\quad (x-1)(x-2)=0,
portanto x=1 ou x=2.
  • Interpretação: x=1 é a junção real das duas peças (e pertence ao gráfico, via x^{2}). x=2 é solução da igualdade das curvas, mas a parábola x^{2} não está presente em x=2 (porque só vale para x\le1); logo (2,4) aparece no gráfico apenas como ponto da reta, não como interseção de ambas as peças no gráfico definido por partes.

Passo 6

Comportamento nas extremidades e conclusões qualitativas.
  • Para x\to -\infty: como a peça é a parábola para x muito negativos, g(x)=x^{2}\to +\infty.
  • Para x\to +\infty: só existe a peça reta ( x>1), e g(x)=3x-2\to +\infty. Logo ambos os ramos crescem para +\infty nas extremidades (parábola à esquerda, reta à direita).
  • Extremo global: mínimo global em (0,0) com valor 0.

Passo 7

Como desenhar passo a passo (instruções práticas para o esboço):
  1. Desenhe e marque eixos coordenados (escalar eixos de forma que pontos (1,1), (2,4) e (0,0) fiquem visíveis).
  2. Desenhe a parábola y=x^{2} apenas até x=1 (incluindo x=1). Marque pontos (-1,1), (0,0), (1,1) e faça a curva passar suavemente por eles; coloque um ponto sólido em (1,1).
  3. Desenhe a reta y=3x-2 apenas para x>1. Uma forma prática: marque o ponto (2,4) e uma outra aproximação para a reta à direita de 1; ao chegar em x=1 desenhe a reta aproximando (1,1) mas deixe um círculo aberto exatamente em (1,1) sobre a reta (para indicar que a reta não inclui esse ponto). Esse círculo aberto ficará sobreposto ao ponto sólido da parábola — o que importa é que (1,1) está dentro do gráfico via a peça parabólica.
  4. Finalize: sombreie/lembre que a parábola existe para todo x\le1 e a reta para todo x>1. Coloque setas nas extremidades (para indicar +\infty) se desejar.

Passo 8

Resumo das propriedades que devem aparecer no esboço (checagem final):
  • Ponto sólido (1,1) presente.
  • Parabola y=x^{2} desenhada até e incluindo (1,1).
  • Reta y=3x-2 desenhada para x>1, passando por (2,4) e aproximando (1,1) com círculo aberto.
  • Função contínua em x=1.
  • Mínimo global em (0,0).
  • Comportamento: g(x)\to +\infty quando x\to -\infty (pela parábola) e quando x\to +\infty (pela reta).

Resposta

Gráfico: para x\le 1 a curva é a parábola y=x^{2} (vértice (0,0), pontos (-1,1),(0,0),(1,1)) com o ponto (1,1) incluído; para x>1 a curva é a reta y=3x-2 (inclui (2,4), aproxima (1,1) mas não o inclui — círculo aberto em (1,1) sobre a reta). A função é contínua em x=1 (valor comum 1) e tem mínimo global em (0,0).

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