Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
Passo 1
O enunciado pede que se esbocem, com detalhes, os gráficos da função definida por partes
Informações fornecidas:
- Para
a função vale . - Para
a função vale .
O que precisa ser feito: desenhar (esboçar) o gráfico completo de, mostrando claramente as duas peças, os pontos importantes, continuidade/descontinuidade em , comportamento para e pontos notáveis para orientar o desenho.]
Passo 2
Analisar a peça parabólica
para
.
- A curva
é uma parábola com vértice em e abertura para cima. - Alguns pontos úteis (todos para a parte
): , , , . Note que pertence à peça porque aqui vale . - Forma/monotonicidade na região considerada: para
a parábola decresce quando aumenta (por exemplo de para os valores caem de para ); para a parábola cresce (por exemplo para ). O mínimo local e global da função, visto em toda a linha real, é porque .
Passo 3
Analisar a peça linear
para
.
- É uma reta com coeficiente angular (inclinação)
e ordenada no eixo igual a (a reta inteira teria ponto , mas lembre que essa reta só vale para ). - Pontos úteis sobre a reta: em
a expressão dá , em dá . Como a peça é só para , o ponto não pertence à peça reta (seria um ponto limite da reta à esquerda) — isso será tratado na conexão das peças. - A reta é estritamente crescente (slope
), portanto para os valores sobem rapidamente.
Passo 4
Verificar a conexão entre as duas peças em
(continuidade).
- Limite pela esquerda em
: - Limite pela direita em
: - Valor da função em
: como a definição para inclui ,
Como limite à esquerda = limite à direita = valor da função em, a função é contínua em . No desenho: o ponto deve aparecer como um ponto sólido (incluso). A reta para chega a mas não inclui esse ponto (a reta tem um “círculo aberto” em ); contudo o círculo aberto fica encoberto pelo ponto sólido da parábola — visualmente aparece simplesmente um ponto sólido em .
Passo 5
Investigar interseções algébricas entre as duas expressões (opcional para entender a forma).
- Resolver
:
portanto
ou
.
- Interpretação:
é a junção real das duas peças (e pertence ao gráfico, via ). é solução da igualdade das curvas, mas a parábola não está presente em (porque só vale para ); logo aparece no gráfico apenas como ponto da reta, não como interseção de ambas as peças no gráfico definido por partes.
Passo 6
Comportamento nas extremidades e conclusões qualitativas.
- Para
: como a peça é a parábola para muito negativos, . - Para
: só existe a peça reta ( ), e . Logo ambos os ramos crescem para nas extremidades (parábola à esquerda, reta à direita). - Extremo global: mínimo global em
com valor .
Passo 7
Como desenhar passo a passo (instruções práticas para o esboço):
- Desenhe e marque eixos coordenados (escalar eixos de forma que pontos
, e fiquem visíveis). - Desenhe a parábola
apenas até (incluindo ). Marque pontos , , e faça a curva passar suavemente por eles; coloque um ponto sólido em . - Desenhe a reta
apenas para . Uma forma prática: marque o ponto e uma outra aproximação para a reta à direita de ; ao chegar em desenhe a reta aproximando mas deixe um círculo aberto exatamente em sobre a reta (para indicar que a reta não inclui esse ponto). Esse círculo aberto ficará sobreposto ao ponto sólido da parábola — o que importa é que está dentro do gráfico via a peça parabólica. - Finalize: sombreie/lembre que a parábola existe para todo
e a reta para todo . Coloque setas nas extremidades (para indicar ) se desejar.
Passo 8
Resumo das propriedades que devem aparecer no esboço (checagem final):
- Ponto sólido
presente. - Parabola
desenhada até e incluindo . - Reta
desenhada para , passando por e aproximando com círculo aberto. - Função contínua em
. - Mínimo global em
. - Comportamento:
quando (pela parábola) e quando (pela reta).
Resposta
Gráfico: para
a curva é a parábola
(vértice
, pontos
) com o ponto
incluído; para
a curva é a reta
(inclui
, aproxima
mas não o inclui — círculo aberto em
sobre a reta). A função é contínua em
(valor comum
) e tem mínimo global em
.