Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
h(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _{10}(x), \text { se } x>0, \\\ \cos (x), \text { se } x<0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar com detalhes os gráficos da função por partes
h(x)=\begin{cases} \log_{10}(x), & \text{se } x>0,\\[4pt] \cos(x), & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas e o que precisa ser desenhado:
  • Há dois ramos: um ativo para x>0 (logaritmo na base 10) e outro para x<0 (cosseno).
  • O valor em x=0 não está definido no enunciado (nem x\ge0 nem x\le0), então x=0 não pertence ao domínio.
  • O objetivo é descrever e esboçar cada ramo, marcar comportamentos importantes (assimptotas, interceptos, limites laterais, pontos notáveis) e mostrar como ficam unidos no gráfico (se é que ficam).]

Passo 2

Domínio e pontos importantes gerais
  • Domínio de h é \{x\in\mathbb{R}: x<0\}\cup\{x\in\mathbb{R}: x>0\}. Em palavras: todos os reais exceto x=0.
  • Não existe ponto definido em x=0. Temos que estudar os limites laterais:
    • limite pela direita ( x\to0^+) da parte \log_{10}(x);
    • limite pela esquerda ( x\to0^-) da parte \cos(x).
      Esses limites vão determinar se há ponto limite, círculo aberto, ou racha no gráfico em x=0.

Passo 3

Análise do ramo direito: y=\log_{10}(x), para x>0
  • Definição e domínio: \log_{10}(x) está definido apenas para x>0. Isso explica por que o ramo direito começa imediatamente à direita de x=0.
  • Limite em 0^+: \lim_{x\to0^+}\log_{10}(x)=-\infty.Isso significa que há uma assimptota vertical em x=0 no lado direito: a curva desce sem limite quando se aproxima de 0 pela direita.
  • Comportamento para x\to+\infty: \lim_{x\to+\infty}\log_{10}(x)=+\infty,mas cresce muito lentamente (logaritmo cresce sem bound, mas devagar).
  • Intercepto com o eixo x: \log_{10}(1)=0, logo a curva cruza o eixo x em (1,0). Esse ponto pertence ao gráfico porque 1>0.
  • Alguns pontos numéricos úteis para desenhar à mão:
    • \log_{10}(0{,}1)=-1 então (0{,}1,-1) é um ponto.
    • \log_{10}(10)=1 então (10,1) é um ponto.
  • Monotonicidade e inclinação: \log_{10}(x) é estritamente crescente para x>0. A derivada é \frac{d}{dx}\log_{10}(x)=\frac{1}{x\ln 10},que é positiva para todo x>0. Isso diz que a curva sobe sempre (sem oscilar).
  • Como esboçar o ramo direito na prova, passo a passo:
    1. Trace o eixo vertical x=0 como assimptota à direita.
    2. Marque os pontos (0{,}1,-1), (1,0), (10,1) (usar escala logarítmica visual ajuda, mas não é obrigatório).
    3. Desenhe uma curva suave, estritamente crescente, que vem de -\infty próximo a x=0^+ e sobe lentamente para +\infty quando x aumenta.

Passo 4

Análise do ramo esquerdo: y=\cos(x), para x<0
  • Domínio: \cos(x) está definido para todo x\in\mathbb{R}; aqui usamos apenas a parte x<0.
  • Limite em 0^-: \lim_{x\to0^-}\cos(x)=\cos(0)=1.Como x=0 não pertence ao domínio, no gráfico desse ramo haverá um círculo aberto em (0,1) — a curva aproxima-se desse ponto pela esquerda, mas o ponto não está incluído.
  • Propriedades principais do cosseno:
    • É periódica de período 2\pi: \cos(x+2\pi)=\cos(x).
    • Amplitude 1: valores sempre entre -1 e 1.
    • Máximos em x=2k\pi com valor 1; mínimos em x=(2k+1)\pi com valor -1; zeros em x=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}.
    • Derivada: \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), que dá a inclinação instantânea em pontos notáveis (por exemplo, nas máximas a inclinação é zero).
  • Pontos numéricos úteis no ramo x<0 (todos com x<0 e pertencem ao gráfico):
    • x=-\dfrac{\pi}{2}\approx-1{,}571: \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
    • x=-\pi\approx-3{,}142: \cos(-\pi)=-1.
    • x=-2\pi\approx-6{,}283: \cos(-2\pi)=1.
  • Como esboçar o ramo esquerdo na prova, passo a passo:
    1. Marque alguns pontos periódicos negativos: -\dfrac{\pi}{2}, -\pi, -\tfrac{3\pi}{2}, -2\pi e seus valores em \cos.
    2. Desenhe a oscilação senoidal contínua para x<0, com amplitude 1, repetindo para a esquerda indefinidamente.
    3. No ponto de acumulação x\to0^- desenhe a curva aproximando-se de y=1 e coloque um círculo aberto em (0,1) (porque x=0 não pertence ao domínio).

Passo 5

Comportamento conjunto em x=0 e continuidade
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to0^-}h(x)=1 (pois é \cos(0)=1).
  • Limite pela direita: \lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty (por ser \log_{10}(x)).
  • Conclusão sobre continuidade: os limites laterais não coincidem (um é finito 1, outro é -\infty), e o valor em x=0 não está definido. Portanto, h é descontinua em x=0. No esboço isso fica visível como:
    • um ramo oscilante terminando (à direita) em um círculo aberto em (0,1);
    • o ramo logarítmico vindo de -\infty na vizinhança de x=0^+.
  • Em termos gráficos: não existe ponto de ligação entre as duas curvas; o lado esquerdo tem um limite finito, o lado direito diverge negativamente.

Passo 6

Instruções práticas e dicas para desenhar rapidamente em prova (passo a passo resumido)
  1. Trace e rotule eixos x e y.
  2. Desenhe a assimptota vertical pontilhada em x=0 para lembrar que \log_{10}(x) vai a -\infty quando x\to0^+.
  3. Ramo direito ( x>0):
    • marque (1,0), (0{,}1,-1) e (10,1);
    • desenhe uma curva suave crescente que vem de -\infty perto de x=0^+ e cruza em (1,0).
  4. Ramo esquerdo ( x<0):
    • marque pontos como \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right), (- \pi,-1), (-2\pi,1);
    • desenhe a senoide contínua para x<0 com amplitude 1 e período 2\pi, aproximando-se de (0,1) pela esquerda;
    • coloque um círculo aberto em (0,1) para indicar que x=0 não está incluído.
  5. Verifique consistência: valores de \cos(x) ficam entre -1 e 1; log cresce sem limite positivo mas lentamente.

Passo 7

Comentários didáticos finais (para decorar na prova)
  • Sempre verifique domínio e limites laterais quando a função é por partes; pontos que parecem “na fronteira” (aqui x=0) costumam ser onde ocorrem descontinuidades.
  • Para ramos conhecidos (log, trig), memorize comportamento típico: log tem assimptota vertical em 0^+ e cruza eixo x em 1; cosseno oscila entre -1 e 1 com período 2\pi.
  • Ao explicar o esboço no caderno, escreva junto: “ramo esquerdo = \cos(x) para x<0 (aberto em (0,1)); ramo direito = \log_{10}(x) para x>0 (assimptota vertical x=0, cruza em (1,0)).”

Resposta

Ramo esquerdo: y=\cos(x) para x<0 — senoide contínua de amplitude 1 e período 2\pi, com pontos notáveis \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right), (- \pi,-1), (-2\pi,1) etc.; aproxima-se de y=1 quando x\to0^- e tem um círculo aberto em (0,1).\nRamo direito: y=\log_{10}(x) para x>0 — função definida só para x>0, estritamente crescente, cruza o eixo em (1,0), \log_{10}(0{,}1)=-1, \log_{10}(10)=1 e tem assimptota vertical em x=0 pois \lim_{x\to0^+}\log_{10}(x)=-\infty.\nDescontinuidade em x=0: \lim_{x\to0^-}h(x)=1 e \lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty, logo h não é contínua em 0.

Exercícios relacionados