Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
Passo 1
O enunciado pede: esboçar com detalhes os gráficos da função por partes
Informações dadas e o que precisa ser desenhado:
- Há dois ramos: um ativo para
(logaritmo na base 10) e outro para (cosseno). - O valor em
não está definido no enunciado (nem nem ), então não pertence ao domínio. - O objetivo é descrever e esboçar cada ramo, marcar comportamentos importantes (assimptotas, interceptos, limites laterais, pontos notáveis) e mostrar como ficam unidos no gráfico (se é que ficam).]
Passo 2
Domínio e pontos importantes gerais
- Domínio de
é . Em palavras: todos os reais exceto . - Não existe ponto definido em
. Temos que estudar os limites laterais: - limite pela direita (
) da parte ; - limite pela esquerda (
) da parte .
Esses limites vão determinar se há ponto limite, círculo aberto, ou racha no gráfico em.
- limite pela direita (
Passo 3
Análise do ramo direito:
, para
- Definição e domínio:
está definido apenas para . Isso explica por que o ramo direito começa imediatamente à direita de . - Limite em
: Isso significa que há uma assimptota vertical em no lado direito: a curva desce sem limite quando se aproxima de pela direita. - Comportamento para
: mas cresce muito lentamente (logaritmo cresce sem bound, mas devagar). - Intercepto com o eixo
: , logo a curva cruza o eixo em . Esse ponto pertence ao gráfico porque . - Alguns pontos numéricos úteis para desenhar à mão:
-
então é um ponto. -
então é um ponto.
-
- Monotonicidade e inclinação:
é estritamente crescente para . A derivada é que é positiva para todo . Isso diz que a curva sobe sempre (sem oscilar). - Como esboçar o ramo direito na prova, passo a passo:
- Trace o eixo vertical
como assimptota à direita. - Marque os pontos
, , (usar escala logarítmica visual ajuda, mas não é obrigatório). - Desenhe uma curva suave, estritamente crescente, que vem de
próximo a e sobe lentamente para quando aumenta.
- Trace o eixo vertical
Passo 4
Análise do ramo esquerdo:
, para
- Domínio:
está definido para todo ; aqui usamos apenas a parte . - Limite em
: Como não pertence ao domínio, no gráfico desse ramo haverá um círculo aberto em — a curva aproxima-se desse ponto pela esquerda, mas o ponto não está incluído. - Propriedades principais do cosseno:
- É periódica de período
: . - Amplitude
: valores sempre entre e . - Máximos em
com valor ; mínimos em com valor ; zeros em . - Derivada:
, que dá a inclinação instantânea em pontos notáveis (por exemplo, nas máximas a inclinação é zero).
- É periódica de período
- Pontos numéricos úteis no ramo
(todos com e pertencem ao gráfico): -
: . -
: . -
: .
-
- Como esboçar o ramo esquerdo na prova, passo a passo:
- Marque alguns pontos periódicos negativos:
e seus valores em . - Desenhe a oscilação senoidal contínua para
, com amplitude , repetindo para a esquerda indefinidamente. - No ponto de acumulação
desenhe a curva aproximando-se de e coloque um círculo aberto em (porque não pertence ao domínio).
- Marque alguns pontos periódicos negativos:
Passo 5
Comportamento conjunto em
e continuidade
- Limite pela esquerda:
(pois é ). - Limite pela direita:
(por ser ). - Conclusão sobre continuidade: os limites laterais não coincidem (um é finito
, outro é ), e o valor em não está definido. Portanto, é descontinua em . No esboço isso fica visível como: - um ramo oscilante terminando (à direita) em um círculo aberto em
; - o ramo logarítmico vindo de
na vizinhança de .
- um ramo oscilante terminando (à direita) em um círculo aberto em
- Em termos gráficos: não existe ponto de ligação entre as duas curvas; o lado esquerdo tem um limite finito, o lado direito diverge negativamente.
Passo 6
Instruções práticas e dicas para desenhar rapidamente em prova (passo a passo resumido)
- Trace e rotule eixos
e . - Desenhe a assimptota vertical pontilhada em
para lembrar que vai a quando . - Ramo direito (
): - marque
, e ; - desenhe uma curva suave crescente que vem de
perto de e cruza em .
- marque
- Ramo esquerdo (
): - marque pontos como
, , ; - desenhe a senoide contínua para
com amplitude e período , aproximando-se de pela esquerda; - coloque um círculo aberto em
para indicar que não está incluído.
- marque pontos como
- Verifique consistência: valores de
ficam entre e ; log cresce sem limite positivo mas lentamente.
Passo 7
Comentários didáticos finais (para decorar na prova)
- Sempre verifique domínio e limites laterais quando a função é por partes; pontos que parecem “na fronteira” (aqui
) costumam ser onde ocorrem descontinuidades. - Para ramos conhecidos (log, trig), memorize comportamento típico: log tem assimptota vertical em
e cruza eixo em ; cosseno oscila entre e com período . - Ao explicar o esboço no caderno, escreva junto: “ramo esquerdo =
para (aberto em ); ramo direito = para (assimptota vertical , cruza em ).”
Resposta
Ramo esquerdo:
para
— senoide contínua de amplitude
e período
, com pontos notáveis
,
,
etc.; aproxima-se de
quando
e tem um círculo aberto em
.\nRamo direito:
para
— função definida só para
, estritamente crescente, cruza o eixo em
,
,
e tem assimptota vertical em
pois
.\nDescontinuidade em
:
e
, logo
não é contínua em
.