Questão 21 Esboce com detalhes os gráficos das seguintes funções definidas por partes
l l(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1, \text { se } x>3, \\\\ 4 x-4, \text { se }-1 \leq x \leq 3 \\\ \cos (2 x) \text { se } x<-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar com detalhes o gráfico da função definida por partes
l(x)=\begin{cases} x^{2}+2x+1, & \text{se } x>3,\\[4pt] 4x-4, & \text{se } -1\le x\le 3,\\[4pt] \cos(2x), & \text{se } x<-1. \end{cases}
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Há três ramos, cada um válido em um intervalo diferente: ramo quadrático para x>3, ramo linear para -1\le x\le 3 e ramo trigonométrico para x<-1.
  • Os pontos x=-1 e x=3 são fronteiras entre os ramos; a inclusão/exclusão nestes pontos está especificada ( -1 incluído no ramo do meio, 3 incluído no ramo do meio, os ramos externa são abertos nesses pontos).
    O objetivo é desenhar cada ramo no seu domínio, marcar corretamente círculos abertos/fechados nos pontos de fronteira, e dizer se há continuidade ou descontinuidade nesses pontos.]

Passo 2

Análise do ramo para x>3: a função é
f_1(x)=x^{2}+2x+1.
Primeira observação: factorizar para ver a forma mais clara:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Isto é uma parábola com vértice em x=-1 e valor mínimo 0 (na teoria completa ela atinge 0 em x=-1), mas atenção: aqui esse ramo só vale para x>3. Então no pedaço que vamos desenhar estamos bem à direita do vértice, numa parte crescente e afunilada para cima.
Calcule o valor limite quando nos aproximamos de 3 pela direita (valor que a parábola toma perto de 3):
\lim_{x\to3^{+}}(x+1)^{2}=(3+1)^{2}=4^{2}=16.
Como o ramo está definido por x>3 (estritamente), no ponto x=3 este ramo não fornece um ponto preenchido; graficamente será um círculo aberto em (3,16).
Para obter pontos de referência fáceis para desenhar, calcule alguns valores simples:
f_1(4)=(4+1)^{2}=25,\qquad f_1(5)=(5+1)^{2}=36.
Resumo do comportamento do ramo: curva parabólica, crescente para x>3, passa por valores grandes (por exemplo (4,25)), e tem um ponto aberto em (3,16).

Passo 3

Análise do ramo para -1\le x\le 3: a função é
f_2(x)=4x-4.
Isto é uma reta de inclinação 4 (bastante inclinada para cima) e intercepto em y=-4 quando x=0.
Calcule os valores nos extremos do intervalo:
f_2(-1)=4(-1)-4=-8, \qquad f_2(3)=4\cdot 3-4=12-4=8.
Como estes pontos estão incluídos no intervalo (sinal \le e \ge), graficamente serão pontos com círculo preenchido em (-1,-8) e em (3,8).
Pontos úteis para esboço:
f_2(0)=-4,\qquad f_2(1)=0 \quad(\text{interseção com o eixo }x).çã
Portanto, no segmento entre x=-1 e x=3 desenha-se uma reta ligando (-1,-8) até (3,8) com esses extremos preenchidos.

Passo 4

Análise do ramo para x<-1: a função é
f_3(x)=\cos(2x).
Propriedades importantes:
  • Amplitude: oscila entre -1 e 1.
  • Período: como a função é \cos(2x), o período é
T=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Isto significa que a oscilação (um ciclo completo de máximo a máximo) é repetida a cada intervalo de comprimento \pi.
Calcule o valor limite quando x\to -1^{-} (do lado esquerdo):
\lim_{x\to -1^{-}}\cos(2x)=\cos(2\cdot(-1))=\cos(-2)=\cos(2).
Numericamente, para referência rápida, \cos(2)\approx -0{,}4161468. Como o ramo do coseno é válido apenas para x<-1, em x=-1 este ramo não fornece ponto preenchido; graficamente será um círculo aberto em (-1,\cos 2).
Pontos periódicos úteis para esboço dentro de x<-1:
  • Quando 2x=-\pi isto é x=-\pi/2\approx -1{,}571, tem-se \cos(2x)=\cos(-\pi)=-1.
  • Quando 2x=-2\pi isto é x=-\pi\approx -3{,}142, tem-se \cos(2x)=\cos(-2\pi)=1.
    Assim, ao ir para a esquerda a partir de x=-1 encontra-se primeiro um ponto perto de (-1{,}571,-1), depois (-3{,}142,1), etc.

Passo 5

Verificação de possíveis interseções entre ramos e comentários importantes:
  1. Parabola (x+1)^{2} versus reta 4x-4: resolver
(x+1)^{2}=4x-4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+2x+1=4x-4
\Rightarrow x^{2}-2x+5=0.
O discriminante é \Delta = (-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 5 =4-20=-16<0. Como \Delta<0, não existem soluções reais: a parábola e a reta não se intersectam em nenhum ponto real. Então não há “emenda” suave entre o ramo quadrático e a reta; eles ficam separados verticalmente para x>3 e -1\le x\le 3 respectivamente. Em particular, em x=3 os valores são diferentes: o ramo do meio dá 8 (ponto preenchido) e o ramo da direita tende a 16 (círculo aberto).
  1. Coseno \cos(2x) versus reta 4x-4 para x<-1: para x<-1 a reta toma valores 4x-4<-8 (por exemplo em x=-2 vale -12), enquanto \cos(2x)\in[-1,1]. Portanto para x<-1 não há solução da igualdade \cos(2x)=4x-4; isto garante que o ramo do coseno não cruza a reta no domínio onde o coseno está definido. No ponto x=-1 especificamente, os valores são diferentes: \cos(2\cdot(-1))=\cos 2\approx -0{,}416 (aberto) contra f_2(-1)=-8 (fechado).

Passo 6

Continuidade em x=-1 e x=3:
  • Em x=-1: \lim_{x\to -1^{-}}l(x)=\cos 2\approx -0{,}416,\qquad l(-1)=4(-1)-4=-8.Como \lim_{x\to -1^{-}}l(x)\neq l(-1), há descontinuidade por salto (jump) em x=-1. No gráfico: círculo aberto em (-1,\cos 2) e círculo preenchido em (-1,-8).
  • Em x=3: \lim_{x\to 3^{-}}l(x)=f_2(3)=8,\qquad \lim_{x\to 3^{+}}l(x)= (3+1)^{2}=16.O valor l(3)=8 (ramo do meio). Como as laterais são diferentes ( 8 à esquerda e 16 à direita), há descontinuidade por salto em x=3. No gráfico: círculo preenchido em (3,8) e círculo aberto em (3,16).

Passo 7

Resumo prático para desenhar (etapas a seguir no papel; isto é o “cheat sheet” para prova):
  1. Desenhe eixos x e y e marque ao menos os pontos x=-1 e x=3.
  2. Desenhe o ramo do coseno para x<-1:
    • Oscila entre -1 e 1 com período \pi.
    • Marque pontos como (-1,\cos 2) com um círculo aberto (use \cos 2\approx -0{,}416), (-1{,}571,-1) (aprox. -\pi/2,-1), (-3{,}142,1) (aprox. -\pi,1), e continue a oscilação para a esquerda.
  3. Desenhe a reta entre (-1,-8) (ponto preenchido) e (3,8) (ponto preenchido). Marque também (0,-4) e (1,0) para ajudar a posicionar a reta.
  4. Desenhe a parábola (x+1)^{2} para x>3 começando logo à direita de x=3; marque (3,16) como círculo aberto e depois pontos como (4,25) para orientar a curvatura.
  5. Indique claramente os círculos abertos em (-1,\cos 2) e (3,16), e círculos preenchidos em (-1,-8) e (3,8).
  6. Anote que a função é descontínua em x=-1 e x=3 (saltos).

Passo 8

Interpretação qualitativa final (o que se vê ao olhar para o gráfico):
  • À esquerda de x=-1: função oscilante e limitada ( \cos(2x)), nunca atingindo os valores da reta que estão muito abaixo.
  • No intervalo [-1,3]: um segmento de reta inclinado subindo de (-1,-8) até (3,8).
  • Para x>3: um ramo parabólico muito acima do segmento de reta, começando (como limite) em y=16 quando x se aproxima de 3 pela direita, e crescendo rapidamente depois.
  • Existem dois saltos (descontinuidades): um em x=-1 (entre \approx -0{,}416 e -8) e outro em x=3 (entre 8 e 16).

Resposta

Gráfico com três ramos:
  • Para x<-1: l(x)=\cos(2x) (oscilação entre -1 e 1, período \pi), com círculo aberto em (-1,\cos 2) onde \cos 2\approx -0{,}416.
  • Para -1\le x\le 3: l(x)=4x-4 (reta de inclinação 4) com pontos preenchidos em (-1,-8) e (3,8); pontos úteis (0,-4) e (1,0).
  • Para x>3: l(x)=(x+1)^{2} (parábola com vértice em (-1,0), apenas o ramo direito para x>3), com círculo aberto em (3,16); exemplos: (4,25).
    Descontinuidades por salto em x=-1 e em x=3.

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