Questão 21. A função g(t) é definida por partes: ela permanece em zero até t=1, cresce linearmente entre t=1 e t=2, e depois se mantém constante em 1 . Essa representação é útil para descrever sistemas lineares em engenharia e análise de sinais. Expresse a função dada usando funções janela \left(\Pi_{a, b}(t)\right) e degrau e calcule sua transformada.

Passo 1

O enunciado dá uma função g(t) definida por partes com as seguintes características:
  • Para t<1: g(t)=0.
  • Para 1\le t\le 2: g(t) cresce linearmente de 0 em t=1 até 1 em t=2.
  • Para t>2: g(t)=1 (constante).
O que se pede:
  • Expressar g(t) usando funções janela \Pi_{a,b}(t) e o degrau (função de Heaviside).
  • Calcular a transformada (interpretei como transformada de Laplace, que é a transformada mais comum em análise de sinais e sistemas lineares) de g(t).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Valor no intervalo [1,2] é uma rampa que pode ser escrita como t-1 (pois em t=1 vale 0 e em t=2 vale 1).
  • Após t=2 a função vale 1.
  • A janela \Pi_{1,2}(t) será usada para “ligar” a rampa apenas entre 1 e 2.

Passo 2

Definições e propriedades que vou usar (explicadas com calma):
  • A função degrau (Heaviside) será denotada por u(t), com u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t>0 (valores em pontos isolados não importam para a transformada).
  • A janela retangular \Pi_{a,b}(t) é definida por
\Pi_{a,b}(t)=u(t-a)-u(t-b),
ou seja, \Pi_{a,b}(t)=1 para a\le t<b (ou a\le t\le b conforme convenção) e zero fora do intervalo. Multiplicar uma função por \Pi_{a,b}(t) isola essa função no intervalo [a,b].
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt,
quando a integral converge. A transformada é linear, ou seja, \mathcal{L}\{f+g\}=\mathcal{L}\{f\}+\mathcal{L}\{g\}.

Passo 3

Escrever g(t) com as funções solicitadas (vou montar a função por pedaços usando a janela e o degrau):
  • A rampa entre 1 e 2 é t-1 ativada somente nesse intervalo: (t-1)\Pi_{1,2}(t).
  • O valor constante 1 para t\ge2 é u(t-2).
    Portanto uma representação limpa é
g(t)=(t-1)\,\Pi_{1,2}(t)+u(t-2).
Verificação rápida:
  • Se t<1: \Pi_{1,2}(t)=0 e u(t-2)=0 então g(t)=0.
  • Se 1\le t<2: \Pi_{1,2}(t)=1 e u(t-2)=0 então g(t)=t-1.
  • Se t\ge2: \Pi_{1,2}(t)=0 e u(t-2)=1 então g(t)=1.
    Tudo coerente com o enunciado.

Passo 4

Escolha da transformada: vou calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s). Isso é apropriado para sistemas lineares e sinais causais (a função começa em t=0 com valores nulos até t=1).
Usarei linearidade:
G(s)=\mathcal{L}\{(t-1)\Pi_{1,2}(t)\}+\mathcal{L}\{u(t-2)\}.

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{(t-1)\Pi_{1,2}(t)\} explicitamente por integral:
\mathcal{L}\{(t-1)\Pi_{1,2}(t)\}=\int_{0}^{\infty} (t-1)\Pi_{1,2}(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{1}^{2} (t-1)e^{-st}\,dt.
Para simplificar, faço a mudança de variável \tau=t-1. Então quando t vai de 1 a 2, \tau vai de 0 a 1, e t=\tau+1. Assim
\int_{1}^{2} (t-1)e^{-st}\,dt=e^{-s}\int_{0}^{1} \tau e^{-s\tau}\,d\tau.
Agora calculo \int_{0}^{1} \tau e^{-s\tau}\,d\tau por integração por partes. Tome u=\tau, dv=e^{-s\tau}d\tau. Então du=d\tau, v=-\dfrac{e^{-s\tau}}{s}. Assim
\int_{0}^{1} \tau e^{-s\tau}\,d\tau=\left[-\dfrac{\tau e^{-s\tau}}{s}\right]_{0}^{1}+\dfrac{1}{s}\int_{0}^{1} e^{-s\tau}\,d\tau.
A segunda integral é \dfrac{1}{s}\left[-\dfrac{e^{-s\tau}}{s}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{s}\left(\dfrac{1-e^{-s}}{s}\right)=\dfrac{1-e^{-s}}{s^{2}}. Avaliando o primeiro termo:
\left[-\dfrac{\tau e^{-s\tau}}{s}\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1\cdot e^{-s}}{s}-0=-\dfrac{e^{-s}}{s}.
Somando:
\int_{0}^{1} \tau e^{-s\tau}\,d\tau=-\dfrac{e^{-s}}{s}+\dfrac{1-e^{-s}}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}-e^{-s}\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}\right).
Multiplicando por e^{-s} (recordando do fator e^{-s} anterior):
\mathcal{L}\{(t-1)\Pi_{1,2}(t)\}=e^{-s}\left(\dfrac{1}{s^{2}}-e^{-s}\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}\right)\right) =\dfrac{e^{-s}}{s^{2}}-e^{-2s}\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}\right).

Passo 6

Calcular \mathcal{L}\{u(t-2)\}. Usando integral direta:
\mathcal{L}\{u(t-2)\}=\int_{0}^{\infty} u(t-2)e^{-st}\,dt=\int_{2}^{\infty} e^{-st}\,dt=\dfrac{e^{-2s}}{s}.

Passo 7

Somando as duas transformadas e simplificando:
G(s)=\left(\dfrac{e^{-s}}{s^{2}}-e^{-2s}\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s^{2}}\right)\right)+\dfrac{e^{-2s}}{s}.
Os termos em \dfrac{e^{-2s}}{s} se cancelam ( -e^{-2s}\dfrac{1}{s}+\dfrac{e^{-2s}}{s}=0), restando
G(s)=\dfrac{e^{-s}}{s^{2}}-\dfrac{e^{-2s}}{s^{2}}=\dfrac{e^{-s}-e^{-2s}}{s^{2}}.
Podemos também escrever G(s)=\dfrac{e^{-s}(1-e^{-s})}{s^{2}}, forma útil para ver o atraso e a duração da rampa.

Resposta

g(t)=(t-1)\,\Pi_{1,2}(t)+u(t-2)
G(s)=\displaystyle \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\dfrac{e^{-s}-e^{-2s}}{s^{2}}

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