Questão 21. A função
é definida por partes: ela permanece em zero até
, cresce linearmente entre
e
, e depois se mantém constante em 1 . Essa representação é útil para descrever sistemas lineares em engenharia e análise de sinais. Expresse a função dada usando funções janela
e degrau e calcule sua transformada.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por partes com as seguintes características:
- Para
: . - Para
: cresce linearmente de em até em . - Para
: (constante).
O que se pede:
- Expressar
usando funções janela e o degrau (função de Heaviside). - Calcular a transformada (interpretei como transformada de Laplace, que é a transformada mais comum em análise de sinais e sistemas lineares) de
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Valor no intervalo
é uma rampa que pode ser escrita como (pois em vale e em vale ). - Após
a função vale . - A janela
será usada para “ligar” a rampa apenas entre e .
Passo 2
Definições e propriedades que vou usar (explicadas com calma):
- A função degrau (Heaviside) será denotada por
, com para e para (valores em pontos isolados não importam para a transformada). - A janela retangular
é definida por
ou seja,
para
(ou
conforme convenção) e zero fora do intervalo. Multiplicar uma função por
isola essa função no intervalo
.
- A transformada de Laplace de uma função
é
quando a integral converge. A transformada é linear, ou seja,
.
Passo 3
Escrever
com as funções solicitadas (vou montar a função por pedaços usando a janela e o degrau):
- A rampa entre
e é ativada somente nesse intervalo: . - O valor constante
para é .
Portanto uma representação limpa é
Verificação rápida:
- Se
: e então . - Se
: e então . - Se
: e então .
Tudo coerente com o enunciado.
Passo 4
Escolha da transformada: vou calcular a transformada de Laplace
. Isso é apropriado para sistemas lineares e sinais causais (a função começa em
com valores nulos até
).
Usarei linearidade:
Passo 5
Calcular
explicitamente por integral:
Para simplificar, faço a mudança de variável
. Então quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
. Assim
Agora calculo
por integração por partes. Tome
,
. Então
,
. Assim
A segunda integral é
. Avaliando o primeiro termo:
Somando:
Multiplicando por
(recordando do fator
anterior):
Passo 6
Calcular
. Usando integral direta:
Passo 7
Somando as duas transformadas e simplificando:
Os termos em
se cancelam (
), restando
Podemos também escrever
, forma útil para ver o atraso e a duração da rampa.