Questão 21. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e A^-1=A^t.
Determinar, se possível, x e y em R a fim de que a matriz [ccraiz2 & x y & raiz2] seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x,yinR tais que a matriz
A= raiz2 & x [6pt] y & raiz2
seja ortogonal, ou seja, satisfazendo
A^tA=I2
Para isso vamos usar o fato de que, em dimensão 2, os vetores-coluna de A devem ser ortonormais (norma 1 e produto escalar zero).]

Passo 2

Calculemos o produto
A^tA = raiz2 & y[3pt] x & raiz2 raiz2 & x[3pt] y & raiz2 = 2+y^2 & raiz2(x+y)[6pt] raiz2(x+y) & x^2+2
]

Passo 3

Igualando
Das duas primeiras equações vem
,
o que não tem solução real em .]

Resposta

Não existem x,yinR tais que a matriz dada seja ortogonal.

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