1. Determine o valor de k em cada caso a seguir,
    (a) de modo que o sistema linear l-4 x+3 y=2 5 x-4 y=0 2 x-y=k admita solução.
    (b) de modo que o sistema linear homogêneo l2 x-5 y+3 z=0 x+y+z=0 2 x+k z=0 tenha uma solução distinta da trivial.

Passo 1

Temos dois problemas envolvendo sistemas lineares e parâmetro
com duas incógnitas e três equações; para existir solução, as duas primeiras equações devem determinar . No item (b) temos o sistema homogêneo
em três incógnitas; para haver solução distinta da trivial, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero.

Passo 2

Resolvendo as duas primeiras equações do item (a) por substituição, escrevemos
5x-4y=0Longrightarrow x=45,y
Substituindo em -4x+3y=2,
-4l(45yr)+3y=2 Longrightarrow -165y+3y=2 Longrightarrow -15y=2 Longrightarrow y=-10,
e daí
x=45,(-10)=-8

Passo 3

Ainda no item (a), a terceira equação exige
2x-y=k,
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k=2(-8)-(-10)=-16+10=-6

Passo 4

No item (b), a matriz dos coeficientes é
A= 2 & -5 & 3 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
Para existir solução não trivial do sistema homogêneo, devemos ter
det(A)=0

Passo 5

Calculamos
det(A) = 21 & 10 & k -(-5)1 & 12 & k +31 & 12 & 0 =2(k)-5(k-2)+3(0-2) =2k+5k-10-6 =7k-16
Impondo det(A)=0 obtém-se
7k-16=0 Longrightarrow k=167

Resposta

(a) k=-6
(b) k=167

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