• Questão 42: Se a e \beta são bases de um mesmo espaço vetorial então:
    a. Determine [I]_{\alpha}^{\alpha};
    b. Relacione [I]_{\alpha}^{\beta} com [I]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a transformação identidade I:V\to V num espaço vetorial V, quando dadas duas bases \alpha e \beta de V:
  • (a) Determinar [I]_{\alpha}^{\alpha}.
  • (b) Relacionar [I]_{\alpha}^{\beta} com [I]_{\beta}^{\alpha}.
Informações relevantes que temos:
  • \alpha=(v_{1},\dots,v_{n}) e \beta=(w_{1},\dots,w_{n}) são bases de V. Aqui n=\dim V.
  • [I]_{\gamma}^{\delta} denota a matriz da transformação linear I escrita com a base \gamma no domínio e a base \delta no contradomínio. Como I é identidade, I(v)=v para todo v\in V.
  • Para qualquer vetor v\in V, [v]_{\alpha} é o vetor coluna das coordenadas de v na base \alpha; análogo para [v]_{\beta}.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicação didática):
  • A matriz de uma transformação linear T:V\to V relativamente às bases \gamma (domínio) e \delta (codomínio) é construída colocando em cada coluna as coordenadas, na base \delta, da imagem T de cada vetor da base \gamma. Ou seja, se \gamma=(u_{1},\dots,u_{n}), a j-ésima coluna de [T]_{\gamma}^{\delta} é [T(u_{j})]_{\delta}.
  • No caso T=I (identidade), I(u_{j})=u_{j}. Então a coluna j será simplesmente as coordenadas de u_{j} na base escolhida para o contradomínio.
  • Uma matriz que transforma coordenadas de uma base \gamma para coordenadas de outra \delta é chamada matriz de mudança de base; essa matriz é invertível e a sua inversa é a matriz da mudança de base no sentido oposto.

Passo 3

Resolvendo (a): calcular [I]_{\alpha}^{\alpha}.
  • Tome \alpha=(v_{1},\dots,v_{n}). Pela regra acima, a j-ésima coluna de [I]_{\alpha}^{\alpha} é [I(v_{j})]_{\alpha}=[v_{j}]_{\alpha}.
  • As coordenadas de v_{j} na própria base \alpha são o vetor coluna que tem 1 na posição j e 0 nas outras posições, isto é, o j-ésimo vetor da base padrão em \mathbb{R}^{n} (denotado e_{j}).
  • Portanto as colunas de [I]_{\alpha}^{\alpha} são e_{1},e_{2},\dots,e_{n}, em ordem, e assim
[I]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n},
onde I_{n} é a matriz identidade n\times n.

Passo 4

Explicando passo a passo por que as colunas são e_j (para que fique bem claro na prova):
  • Por definição de coordenadas, se escrevemos v_{j}=1\cdot v_{j}+0\cdot v_{1}+\dots+0\cdot v_{j-1}+0\cdot v_{j+1}+\dots+0\cdot v_{n}, então [v_{j}]_{\alpha}=e_{j}.
  • Como a construção da matriz usa exatamente [v_j]_{\alpha} como coluna j, obtemos a identidade.

Passo 5

Resolvendo (b): relacionar [I]_{\alpha}^{\beta} com [I]_{\beta}^{\alpha}.
  • Para qualquer vetor v\in V valem as igualdades matriciais (pela definição de matriz de transformação)
[v]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}, \qquad [v]_{\alpha}=[I]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\beta}.
  • Substituindo a primeira na segunda:
[v]_{\alpha}=[I]_{\alpha}^{\beta}\,([I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}) = \big([I]_{\alpha}^{\beta}[I]_{\beta}^{\alpha}\big)\,[v]_{\alpha}.
  • Isso vale para todo v, então como operador em coordenadas a matriz produto deve ser a identidade:
[I]_{\alpha}^{\beta}[I]_{\beta}^{\alpha}=I_{n}.
  • Analogamente, compondo na outra ordem obtém-se [I]_{\beta}^{\alpha}[I]_{\alpha}^{\beta}=I_{n}. Logo cada uma é inversa da outra:
[I]_{\alpha}^{\beta}=\big([I]_{\beta}^{\alpha}\big)^{-1}.
  • Interpretação conceitual: [I]_{\beta}^{\alpha} é a matriz que converte coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta; [I]_{\alpha}^{\beta} faz a conversão inversa. Isso explica por que são inversas.

Passo 6

Exemplo concreto rápido (para fixar):
  • Suponha V=\mathbb{R}^{2}, \alpha é a base canônica (e_{1},e_{2}) e \beta é (w_{1},w_{2}) com w_{1}=(1,1), w_{2}=(-1,2).
  • A matriz [I]_{\beta}^{\alpha} tem colunas [w_{1}]_{\alpha}=(1,1)^{T} e [w_{2}]_{\alpha}=(-1,2)^{T}, ou seja
[I]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
  • A matriz [I]_{\alpha}^{\beta} será a inversa dessa matriz (pode calcular-se explicitamente), confirmando a relação do item (b).]

Resposta

[I]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n}
[I]_{\alpha}^{\beta}=\big([I]_{\beta}^{\alpha}\big)^{-1}

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