- Questão 42: Se a e
são bases de um mesmo espaço vetorial então:
a. Determine
;
b. Relacione
com
.
a. Determine
b. Relacione
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a transformação identidade
num espaço vetorial
, quando dadas duas bases
e
de
:
- (a) Determinar
. - (b) Relacionar
com .
Informações relevantes que temos:
-
e são bases de . Aqui . -
denota a matriz da transformação linear escrita com a base no domínio e a base no contradomínio. Como é identidade, para todo . - Para qualquer vetor
, é o vetor coluna das coordenadas de na base ; análogo para .
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicação didática):
- A matriz de uma transformação linear
relativamente às bases (domínio) e (codomínio) é construída colocando em cada coluna as coordenadas, na base , da imagem de cada vetor da base . Ou seja, se , a -ésima coluna de é . - No caso
(identidade), . Então a coluna será simplesmente as coordenadas de na base escolhida para o contradomínio. - Uma matriz que transforma coordenadas de uma base
para coordenadas de outra é chamada matriz de mudança de base; essa matriz é invertível e a sua inversa é a matriz da mudança de base no sentido oposto.
Passo 3
Resolvendo (a): calcular
.
- Tome
. Pela regra acima, a -ésima coluna de é . - As coordenadas de
na própria base são o vetor coluna que tem na posição e nas outras posições, isto é, o -ésimo vetor da base padrão em (denotado ). - Portanto as colunas de
são , em ordem, e assim
onde
é a matriz identidade
.
Passo 4
Explicando passo a passo por que as colunas são
(para que fique bem claro na prova):
- Por definição de coordenadas, se escrevemos
, então . - Como a construção da matriz usa exatamente
como coluna , obtemos a identidade.
Passo 5
Resolvendo (b): relacionar
com
.
- Para qualquer vetor
valem as igualdades matriciais (pela definição de matriz de transformação)
- Substituindo a primeira na segunda:
- Isso vale para todo
, então como operador em coordenadas a matriz produto deve ser a identidade:
- Analogamente, compondo na outra ordem obtém-se
. Logo cada uma é inversa da outra:
- Interpretação conceitual:
é a matriz que converte coordenadas em para coordenadas em ; faz a conversão inversa. Isso explica por que são inversas.
Passo 6
Exemplo concreto rápido (para fixar):
- Suponha
, é a base canônica e é com , . - A matriz
tem colunas e , ou seja
- A matriz
será a inversa dessa matriz (pode calcular-se explicitamente), confirmando a relação do item (b).]