Questão 21. Um título sofre um desconto comercial de \mathrm{R} \ 9810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples deê3 %$ ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O desconto comercial simples é de \text{R\$ }9.810,00.
  • O desconto foi aplicado três meses antes do vencimento, ou seja n=3 meses.
  • A taxa é de 3\% ao mês, ou seja i=0,03.
    O que a questão pede: indicar qual seria o desconto à mesma taxa e prazo se o desconto fosse o desconto simples racional (desconto “por dentro”).

Passo 2

Vamos definir claramente as fórmulas e o significado das variáveis (para você se sentir seguro na prova).
  • N = valor nominal (valor de face) do título no vencimento.
  • i = taxa de desconto por período (aqui por mês).
  • n = número de períodos até o vencimento (aqui meses).
  • Desconto comercial simples (desconto “por fora”): o desconto é calculado sobre o valor nominal por toda a duração. A fórmula é
D_c = N \cdot i \cdot n.
O preço pago (valor atual) é P_c = N - D_c.
  • Desconto simples racional (desconto “por dentro”): calcula-se o valor atual dividindo o nominal pelo fator (1+i n). Assim
P_r = \frac{N}{1+i n},
e o desconto racional é
D_r = N - P_r = N\cdot\frac{i n}{1+i n}.
Explicando em palavras: no desconto racional o desconto é compatível com a taxa aplicada sobre o preço (ou seja, “por dentro”), por isso usa-se o divisor 1+i n.

Passo 3

Primeiro, a partir do desconto comercial fornecido encontramos o valor nominal N. Usando D_c = N i n e sabendo que D_c=\text{R\$ }9.810,00, i=0,03 e n=3:
N = \frac{D_c}{i n} = \frac{9.810}{0,03\cdot 3} = \frac{9.810}{0,09}.
Fazendo a divisão:
N = 109.000.
Ou seja, o valor nominal do título é \text{R\$ }109.000,00.

Passo 4

Agora calculamos o desconto racional usando a fórmula
D_r = N\cdot\frac{i n}{1+i n}.
Substituindo N=109.000, i n = 0,03\cdot 3 = 0,09:
D_r = 109.000\cdot\frac{0,09}{1+0,09} = 109.000\cdot\frac{0,09}{1,09}.

Passo 5

Calculemos numericamente o valor:
109.000\cdot 0,09 = 9.810,
portanto
D_r = \frac{9.810}{1,09} = 9.000.
Ou seja, o desconto pelo método racional simples seria \text{R\$ }9.000,00.

Passo 6

Comentário final (rápido e motivador): note que o desconto racional é menor ( \text{R\$}9.000,00) que o desconto comercial ( \text{R\$ }9.810,00), e por isso o preço à vista no caso racional é maior. Fica a dica para a prova: sempre identifique se o desconto é “por fora” (comercial) ou “por dentro” (racional) e use a fórmula correta.

Resposta

\text{R\$ }9.000,00

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