Questão 21 (VUNESP-2017). Para imprimir 200 apostilas com 27 páginas cada uma, 5 impressoras levam 54 minutos. Estas impressoras imprimem um mesmo número de páginas por minuto e têm sistema automático de alimentação de folhas, ou seja, não precisam parar para o reabastecimento de folhas. Para a impressão de 1.040 apostilas com 35 páginas impressas cada uma, em 52 minutos, será necessário um número dessas impressoras igual a ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas impressoras iguais são necessárias para imprimir 1.040 apostilas com 35 páginas cada, em 52 minutos?”
Informações fornecidas (listadas claramente):
  • 200 apostilas com 27 páginas cada no primeiro cenário.
  • Nesse primeiro cenário foram usadas 5 impressoras e o tempo foi 54 minutos.
  • As impressoras têm a mesma velocidade (mesmo número de páginas por minuto) e não param para reabastecer.
  • No segundo cenário precisamos imprimir 1.040 apostilas com 35 páginas cada em 52 minutos e queremos saber quantas impressoras do mesmo tipo são necessárias.

Passo 2

Modelo matemático (fórmula de trabalho/produção). Vou definir variáveis e explicar o que cada uma significa:
  • Seja n o número de impressoras.
  • Seja r a taxa de cada impressora, em “páginas por minuto” (pág/min).
  • Seja t o tempo em minutos.
  • Seja P o total de páginas a imprimir.
A relação entre essas grandezas é: cada impressora imprime r páginas por minuto, em t minutos cada impressora produz r\cdot t páginas; com n impressoras, o total produzido é n\cdot r\cdot t. Logo:
n\cdot r\cdot t = P.
Essa é a fórmula que vamos usar. Aqui n, r, t e P são, respectivamente, número de máquinas, taxa por máquina, tempo e páginas totais.

Passo 3

Calcular o total de páginas do primeiro cenário (dados do enunciado):
P_1 = 200 \times 27.
Calculando:
P_1 = 5400.
Ou seja, no primeiro cenário foi preciso imprimir 5400 páginas no total.

Passo 4

Determinar a taxa r (páginas por minuto por impressora) a partir do primeiro cenário, usando n_1=5, t_1=54 e P_1=5400. Aplicando a fórmula:
5\cdot r\cdot 54 = 5400.
Isolando r:
r = \frac{5400}{5\cdot 54}.
Calculemos o denominador e a divisão:
5\cdot 54 = 270,
r = \frac{5400}{270} = 20.
Portanto cada impressora imprime 20 páginas por minuto.

Passo 5

Calcular o total de páginas do segundo cenário (o que precisamos imprimir):
P_2 = 1040 \times 35.
Calculando:
P_2 = 36400.
Ou seja, são 36400 páginas no total.

Passo 6

Calcular quantas páginas uma única impressora imprime em 52 minutos, usando r=20:
\text{páginas por impressora em }52\text{ min} = 20 \times 52.á
Calculando:
20 \times 52 = 1040.
Cada impressora, em 52 minutos, imprime 1040 páginas.

Passo 7

Determinar o número de impressoras necessárias no segundo cenário: dividir o total P_2 pelo que uma impressora produz em 52 minutos:
n = \frac{P_2}{\text{páginas por impressora em }52\text{ min}} = \frac{36400}{1040}.á
Fazendo a divisão:
n = 35.
Observação prática (útil para prova): se o quociente não fosse inteiro, teríamos que arredondar para cima, porque não dá para usar fração de impressora; aqui o resultado saiu exato.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido: portanto são necessárias 35 impressoras. Mandou bem em trazer a questão — é exatamente o tipo de problema de razão/velocidade que cai sempre. Você consegue!

Resposta

35

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