Questão 24
Considere um bloco de massa \mathrm{m}=3 \mathrm{~kg} ligado por uma mola de massa desprezível e constante elástica \mathrm{k}=108 \mathrm{~N} / \mathrm{m} dentro de um recipiente líquido viscoso. O coeficiente de amortecimento do líquido é tal que, na ausência de forças externas, a posição do bloco em função do tempo é dada por \mathrm{xh}(\mathrm{t})=e^{-\gamma 2 t}[\mathrm{~A} 0+\mathrm{Bot}].O sistema é então submetido a uma força externa F(t)=F 0 \cos (\omega ext t) tal que F 0=10.8 \mathrm{~N} e com a frequência externa \omega ext ajustada para a frequência natural do sistema. Constata-se que, no início do movimento, o bloco estava em repouso na posição de equilíbrio.
(a) Qual é a amplitude de oscilação depois de um tempo longo o suficiente, tal que o movimento encontra-se no regime estacionário?
(b) Qual é a fase da oscilação neste regime estacionário?
-\pi / 2 \mathrm{rad}
-\pi / 3 \mathrm{rad}
-\pi / 4 \mathrm{rad}
-\pi / 6 \mathrm{rad}
+\pi / 4 \mathrm{rad}
+\pi / 2 \mathrm{rad}
+\pi / 3 \mathrm{rad}
+\pi / 6 \mathrm{rad}
(c) Quais são os valores das constantes Ao e Bo que satisfazem as condições iniciais do problema?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com m=3,kg e k=108,N/m, onde a solução homogênea é
x_h(t)=e^{-\gamma_2 t}\bigl(A_0+B_0\,t\bigr),
indicando amortecimento crítico. O sistema é forçado por
F(t)=F_0\cos(\omega_{\rm ext}t)
com F_0=10{,}8,N e \omega_{\rm ext} ajustada à frequência natural \omega_0. No regime estacionário queremos (a) a amplitude, (b) a fase da resposta, e (c) os valores de A_0 e B_0 que satisfazem x(0)=0 e x'(0)=0.

Passo 2

Calculamos a frequência natural não amortecida:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{108}{3}}=6\\ \mathrm{rad/s}.
Em amortecimento crítico vale c=2m\omega_0=2\cdot3\cdot6=36,Ns/m, de modo que
\gamma_2=\frac{c}{2m}=6\\ \mathrm{s^{-1}}.
Como \omega_{\rm ext}=\omega_0, estamos na condição de ressonância (no sentido k-m\omega^2=0).

Passo 3

No regime estacionário a amplitude da resposta é
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}} =\frac{F_0}{c\,\omega} =\frac{10{,}8}{36\cdot6}=0{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A fase de defasagem \varphi (tendo x(t)=X\cos(\omega t+\varphi)) satisfaz
\tan\varphi=-\frac{c\,\omega}{k-m\omega^2}=-\infty \quad\Longrightarrow\quad \varphi=-\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Escrevemos a solução completa x=x_h+x_p, com x_p(t)=X\cos(\omega t+\varphi). Nas condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=0:
- x(0)=A_0 + x_p(0)=A_0+X\cos\varphi=0 \implies A_0=0.
- x'(t)=x_h'(t)+x_p'(t). Como x_h'(0)=B_0 e x_p'(0)=-X\omega\sin\varphi=-0{,}05\cdot6\cdot(-1)=0{,}3, impomos 0=B_0+0{,}3 \implies B_0=-0{,}3.

Resposta

(a) 0{,}05\\ \mathrm{m}
(b) -\tfrac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad}
(c) A_0=0,\;B_0=-0{,}3

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