Questão 24
Considere um bloco de massa
ligado por uma mola de massa desprezível e constante elástica
dentro de um recipiente líquido viscoso. O coeficiente de amortecimento do líquido é tal que, na ausência de forças externas, a posição do bloco em função do tempo é dada por
.O sistema é então submetido a uma força externa
ext
tal que
e com a frequência externa
ext ajustada para a frequência natural do sistema. Constata-se que, no início do movimento, o bloco estava em repouso na posição de equilíbrio.
(a) Qual é a amplitude de oscilação depois de um tempo longo o suficiente, tal que o movimento encontra-se no regime estacionário?
(b) Qual é a fase da oscilação neste regime estacionário?
(c) Quais são os valores das constantes Ao e Bo que satisfazem as condições iniciais do problema?
(a) Qual é a amplitude de oscilação depois de um tempo longo o suficiente, tal que o movimento encontra-se no regime estacionário?
(b) Qual é a fase da oscilação neste regime estacionário?
(c) Quais são os valores das constantes Ao e Bo que satisfazem as condições iniciais do problema?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com
,kg e
,N/m, onde a solução homogênea é
indicando amortecimento crítico. O sistema é forçado por
com
,N e
ajustada à frequência natural
. No regime estacionário queremos (a) a amplitude, (b) a fase da resposta, e (c) os valores de
e
que satisfazem
e
.
Passo 2
Calculamos a frequência natural não amortecida:
Em amortecimento crítico vale
,Ns/m, de modo que
Como
, estamos na condição de ressonância (no sentido
).
Passo 3
No regime estacionário a amplitude da resposta é
Passo 4
A fase de defasagem
(tendo
) satisfaz
Passo 5
Escrevemos a solução completa
, com
. Nas condições iniciais
e
:
- .
- . Como
e
, impomos
.
-
-
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)