Questão 22. Considere a soma parcial
s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}
Mostre que
\ln (n+1)<s_{n}<\ln (n)+1
Sugestão: Calcule e^{s_{n}} e use que e^{x}>1+x, x>0.
Curiosidade:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n)\right)=\gamma=0,5772156649 \ldots

Passo 1

O enunciado define a soma parcial da série harmônica
s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}
e pede para mostrar que
\ln(n+1)<s_{n}<\ln(n)+1.
Vamos usar duas ideias:
  1. A desigualdade e^{x}>1+x para x>0 aplicada a e^{s_{n}}=\prod_{k=1}^{n}e^{1/k} nos dará a parte inferior.
  2. A comparação com a integral de 1/x nos dará a parte superior.

Passo 2

Para a parte inferior, note que, para cada k\ge1, como 1/k>0, vale
e^{1/k}>1+\frac{1}{k}.
Multiplicando isso para k=1,2,\dots,n obtemos
e^{s_{n}} =\prod_{k=1}^{n}e^{1/k} >\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr) =(1+1)\Bigl(1+\frac12\Bigr)\cdots\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr).
Mas esse produto telescopa:
(1+1)\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)\cdots\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr) =2\cdot\frac32\cdot\frac43\cdots\frac{n+1}{n} =n+1.
Logo
e^{s_{n}}>n+1 \quad\Longrightarrow\quad s_{n}>\ln(n+1).

Passo 3

Para a parte superior, escreva
s_{n} =1+\sum_{k=2}^{n}\frac1k.
Como 1/x é decrescente em [1,n], temos para k\ge2
\frac1k<\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}\,dx.
Somando de k=2 até n
\sum_{k=2}^{n}\frac1k <\int_{1}^{n}\frac{1}{x}\,dx =\ln(n).
Portanto
s_{n} =1+\sum_{k=2}^{n}\frac1k <1+\ln(n).

Resposta

\displaystyle \ln(n+1)<s_{n}<\ln(n)+1

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