Questão 22. Considere a soma parcial
Mostre que
Sugestão: Calcule
e use que
.
Curiosidade:
Curiosidade:
Passo 1
O enunciado define a soma parcial da série harmônica
e pede para mostrar que
Vamos usar duas ideias:
- A desigualdade
para aplicada a nos dará a parte inferior. - A comparação com a integral de
nos dará a parte superior.
Passo 2
Para a parte inferior, note que, para cada
, como
, vale
Multiplicando isso para
obtemos
Mas esse produto telescopa:
Logo
Passo 3
Para a parte superior, escreva
Como
é decrescente em
, temos para
Somando de
até
dá
Portanto