Questão 23. Mostre que
Conclua que
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e mostrar que vale
para
, e depois concluir que
O conteúdo envolve transformadas de Fourier reais e complexas e o uso de cálculo de resíduos, além de diferenciar em relação a
para obter a segunda integral.
Passo 2
Para a integral do cosseno, consideramos a extensão complexa
com
. Fechamos o caminho no semicírculo superior de raio
e aplicamos o Teorema dos Resíduos. O único polo de
no semiplano superior é em
.
Passo 3
Calculamos o resíduo em
:
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Para
e
, a integral sobre o arco no semicírculo superior tende a zero (Lema de Jordan), logo
Passo 5
Tomando parte real em ambos os lados e usando que
é a parte real de
, obtemos
Como o integrando é par,
Passo 6
Defina
Note que
Chamando
temos
.
Passo 7
Como
, seu derivado é
logo