Questão 23. Mostre que
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos (a x)}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi}{2} e^{-a}, a>0
Conclua que
\int_{0}^{\infty} \frac{x \sin (a x)}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi}{2} e^{-a}, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(a x)}{1+x^{2}}\,dx
e mostrar que vale \tfrac{\pi}{2}e^{-a} para a>0, e depois concluir que
\int_{0}^{\infty} \frac{x\sin(a x)}{1+x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-a}\,.
O conteúdo envolve transformadas de Fourier reais e complexas e o uso de cálculo de resíduos, além de diferenciar em relação a a para obter a segunda integral.

Passo 2

Para a integral do cosseno, consideramos a extensão complexa
I_{\infty}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i a z}}{1+z^{2}}\,dz
com a>0. Fechamos o caminho no semicírculo superior de raio R e aplicamos o Teorema dos Resíduos. O único polo de 1/(1+z^2) no semiplano superior é em z=i.

Passo 3

Calculamos o resíduo em z=i:
\operatorname{Res}\Bigl(\frac{e^{i a z}}{1+z^{2}},\,z=i\Bigr) =\lim_{z\to i}(z-i)\frac{e^{i a z}}{(z-i)(z+i)} =\frac{e^{i a i}}{2i} =\frac{e^{-a}}{2i}\,.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{-R}^{R}\frac{e^{i a x}}{1+x^{2}}\,dx +\int_{\text{arco}_R}\frac{e^{i a z}}{1+z^{2}}\,dz =2\pi i\cdot\frac{e^{-a}}{2i} =\pi e^{-a}\,.
Para a>0 e R\to\infty, a integral sobre o arco no semicírculo superior tende a zero (Lema de Jordan), logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i a x}}{1+x^{2}}\,dx =\pi e^{-a}\,.

Passo 5

Tomando parte real em ambos os lados e usando que \cos(ax) é a parte real de e^{i a x}, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx =\pi e^{-a}.
Como o integrando é par,
\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx =\frac{\pi}{2}e^{-a}.

Passo 6

Defina
I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx.
Note que
I'(a) =\frac{d}{da}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial a}\bigl[\cos(ax)\bigr]\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =-\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(ax)}{1+x^{2}}\,dx.
Chamando
J(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(ax)}{1+x^{2}}\,dx,
temos I'(a)=-J(a).

Passo 7

Como I(a)=\tfrac{\pi}{2}e^{-a}, seu derivado é
I'(a)=-\frac{\pi}{2}e^{-a},
logo
J(a)=-I'(a)=\frac{\pi}{2}e^{-a}.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(a x)}{1+x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-a},
\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(a x)}{1+x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-a}.

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