—— Questão 18. Seja
F(a)=\int_{0}^{\infty} e^{-a x} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} d x
Mostre que F(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan (a).
Sugestão: Calcule F^{\prime}(a).

Passo 1

O enunciado define a função
F(a)=\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,\frac{\sin(x)}{x}\,dx
e pede para mostrar que
F(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan(a).
O conteúdo principal é o uso de diferenciação sob o sinal de integral para calcular F'(a) e depois determinar a constante de integração usando o valor F(0)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Aplicamos diferenciação sob o sinal de integral:
F'(a)=\frac{d}{da}\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,\frac{\sin(x)}{x}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial a}\Bigl(e^{-a x}\,\frac{\sin(x)}{x}\Bigr)dx =-\int_{0}^{\infty}e^{-a x}\,\sin(x)\,dx.

Passo 3

Usamos a integral conhecida
\int_{0}^{\infty}e^{-a x}\,\sin(x)\,dx=\frac{1}{a^{2}+1},
válida para a>0. Logo
F'(a)=-\frac{1}{a^{2}+1}.

Passo 4

Integramos em relação a a:
F(a)=\int F'(a)\,da =\int\Bigl(-\frac{1}{a^{2}+1}\Bigr)da =-\arctan(a)+C.

Passo 5

Para achar C, usamos a=0:
F(0)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{2}=-\arctan(0)+C \;\Rightarrow\;C=\frac{\pi}{2}.
Substituindo em F(a) vem
F(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan(a).

Resposta

F(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan(a).

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