QUESTÃO 22
Seja
o conjunto solução da equação
. Quantos subconjuntos possui o conjunto S ?
(A) 1
(B) 2
© 4
(D) 8
(E) 16
(A) 1
(B) 2
© 4
(D) 8
(E) 16
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Seja
o conjunto solução da equação
. Quantos subconjuntos possui o conjunto
?”.
Conteúdo: equação com radical e depois contagem de subconjuntos (noções de conjuntos e potência de dois).
O que vamos precisar:
Conteúdo: equação com radical e depois contagem de subconjuntos (noções de conjuntos e potência de dois).
O que vamos precisar:
- Determinar o domínio do radical.
- Resolver a equação quadrática que aparece ao quadrar ambos os lados.
- Verificar se as soluções cabem na equação original.
- Calcular quantos subconjuntos tem um conjunto com
elementos (é ).
Passo 2
Primeiro, o radical
só existe se o que está embaixo do radical for ≥0.
Então impomos
Então impomos
Esse é o domínio em que nossa solução precisa viver.
Passo 3
Dentro desse domínio, podemos igualar
.
Como já sabemos que para
, podemos elevar ao quadrado sem introduzir sinais trocados:
Como já sabemos que
Passo 4
Agora é só reorganizar em forma de equação quadrática:
Para resolver
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso dá
ou
.
Passo 5
A gente conferi se essas soluções respeitam o domínio
e se, ao substituir de volta, não dá nada bizarro:
- Para
: e . Beleza. - Para
: e . Também bate.
Logo o conjunto solução é
Passo 6
Um conjunto com 2 elementos tem
subconjuntos, porque cada elemento pode estar ou não em cada subconjunto.
Resposta
4