QUESTÃO 22

Seja S subset R o conjunto solução da equação raiz4 x+4= x+1. Quantos subconjuntos possui o conjunto S ?
(A) 1
(B) 2
© 4
(D) 8
(E) 16

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Seja o conjunto solução da equação . Quantos subconjuntos possui o conjunto ?”.
Conteúdo: equação com radical e depois contagem de subconjuntos (noções de conjuntos e potência de dois).
O que vamos precisar:
  1. Determinar o domínio do radical.
  2. Resolver a equação quadrática que aparece ao quadrar ambos os lados.
  3. Verificar se as soluções cabem na equação original.
  4. Calcular quantos subconjuntos tem um conjunto com elementos (é ).

Passo 2

Primeiro, o radical 4x + 4 >= 0 Longrightarrow x >= -1 só existe se o que está embaixo do radical for ≥0.
Então impomos
Esse é o domínio em que nossa solução precisa viver.

Passo 3

Dentro desse domínio, podemos igualar
(raiz4x+4)^2 = (x+1)^2 Longrightarrow 4x + 4 = x^2 + 2x + 1 .
Como já sabemos que para , podemos elevar ao quadrado sem introduzir sinais trocados:

Passo 4

Agora é só reorganizar em forma de equação quadrática:
x^2 + 2x + 1 - 4x -4 = 0 Longrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0
Para resolver x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-3)2cdot1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42 , usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso dá ou .

Passo 5

A gente conferi se essas soluções respeitam o domínio S = -1,,3 e se, ao substituir de volta, não dá nada bizarro:
  • Para : e . Beleza.
  • Para : e . Também bate.
    Logo o conjunto solução é

Passo 6

Um conjunto com 2 elementos tem subconjuntos, porque cada elemento pode estar ou não em cada subconjunto.

Resposta

4

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