Existe uma matriz 3 \times 3 que tem exatamente dois autovalores e é diagonalizável? Justique cuidadosamente a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma matriz 3\times3 que tenha exatamente dois valores próprios distintos e seja diagonalizável. O conteúdo envolvido é teoria de autovalores e autovetores e o critério de diagonalização de matrizes: uma matriz é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) for igual à multiplicidade algébrica, e a soma dessas dimensões for 3.
Passo 2
Seja \lambda_1 e \lambda_2 os dois autovalores distintos de uma matriz A de ordem 3. Como há exatamente dois autovalores, suas multiplicidades algébricas devem ser uma delas igual a 2 e a outra igual a 1, pois 2+1=3.
Passo 3
Para que A seja diagonalizável é preciso que a multiplicidade geométrica de \lambda_1 seja 2 e a de \lambda_2 seja 1. Em outras palavras,
Aqui o autovalor \lambda_1=1 tem multiplicidade algébrica 2 e autoespaço gerado por \{e_1,e_2\}, logo \dim E(1)=2. O autovalor \lambda_2=2 tem multiplicidade algébrica 1 e autoespaço gerado por \{e_3\}, logo \dim E(2)=1. A soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3, o que garante a diagonalização.