Existe uma matriz 3 \times 3 que tem exatamente dois autovalores e é diagonalizável? Justique cuidadosamente a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma matriz 3\times3 que tenha exatamente dois valores próprios distintos e seja diagonalizável. O conteúdo envolvido é teoria de autovalores e autovetores e o critério de diagonalização de matrizes: uma matriz é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) for igual à multiplicidade algébrica, e a soma dessas dimensões for 3.

Passo 2

Seja \lambda_1 e \lambda_2 os dois autovalores distintos de uma matriz A de ordem 3. Como há exatamente dois autovalores, suas multiplicidades algébricas devem ser uma delas igual a 2 e a outra igual a 1, pois 2+1=3.

Passo 3

Para que A seja diagonalizável é preciso que a multiplicidade geométrica de \lambda_1 seja 2 e a de \lambda_2 seja 1. Em outras palavras,
\dim E(\lambda_1)=2 \quad\text{e}\quad \dim E(\lambda_2)=1,
de modo que existam três autovetores linearmente independentes.

Passo 4

Basta então exibir um exemplo de matriz que satisfaça isso. Tome, por exemplo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Aqui o autovalor \lambda_1=1 tem multiplicidade algébrica 2 e autoespaço gerado por \{e_1,e_2\}, logo \dim E(1)=2. O autovalor \lambda_2=2 tem multiplicidade algébrica 1 e autoespaço gerado por \{e_3\}, logo \dim E(2)=1. A soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3, o que garante a diagonalização.

Resposta

Sim. Por exemplo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
tem exatamente dois autovalores ( 1 com multiplicidade 2 e 2 com multiplicidade 1) e é diagonalizável.

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