Encontre uma equação polar para a curva cartesiana dada.
y=1+3 x
Encontre uma equação polar para a curva cartesiana dada.
x y=4

Passo 1

O enunciado pede que se ache uma equação em coordenadas polares para cada uma das curvas cartesianas dadas. Escrevo claramente o que é pedido e o que é fornecido:
  • Pedido 1: encontrar uma equação polar equivalente à curva cartesiana y = 1 + 3x.
  • Pedido 2: encontrar uma equação polar equivalente à curva cartesiana x y = 4.
Informações relevantes dadas:
  • Para a curva 1: a relação cartesiana é y = 1 + 3x.
  • Para a curva 2: a relação cartesiana é x y = 4.

Passo 2

Vamos lembrar e entender como passar de coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (r,\theta). Isso é essencial e simples:
  • Definição básica: em coordenadas polares,
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde \,r\in\mathbb{R}\, (normalmente se toma r\ge0, mas em representações polares pode aparecer r<0) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • Estratégia geral: substituir x e y pelas expressões polares acima e manipular para obter uma relação entre r e \theta.
Vou aplicar essa regra às duas curvas, mostrando passo a passo as substituições e as identidades trigonométricas usadas.

Passo 3

Resolvendo o Pedido 1 ( y = 1 + 3x).
  1. Substituo x e y por suas expressões polares:
r\sin\theta = 1 + 3(r\cos\theta).
  1. Agrupo os termos com r no mesmo lado:
r\sin\theta - 3r\cos\theta = 1.
  1. Fatore r:
r(\sin\theta - 3\cos\theta) = 1.
  1. Isolo r (desde que o fator multiplicador não seja zero):
r = \dfrac{1}{\sin\theta - 3\cos\theta},\qquad\text{com a condição}\quad \sin\theta - 3\cos\theta \neq 0.çã
Isto já é uma equação polar válida: ela dá r como função de \theta.
  1. (Explicação didática extra — forma alternativa útil) Às vezes é mais conveniente escrever a combinação \sin\theta - 3\cos\theta como uma única função seno com deslocamento de fase. Faço isso para interpretar melhor onde aparecem singularidades:
  • Calculo R=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.
  • Existe um ângulo \varphi tal que \cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{10}} e \sin\varphi = \dfrac{3}{\sqrt{10}}; isso corresponde a \varphi=\arctan(3).
  • Então
\sin\theta - 3\cos\theta = \sqrt{10}\,\sin(\theta-\varphi).
Logo uma forma equivalente é
r = \dfrac{1}{\sqrt{10}\,\sin(\theta-\arctan 3)} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\csc(\theta-\arctan 3),
com \sin(\theta-\arctan 3)\neq 0.
  1. Observações práticas para a prova: a curva original é uma reta. Em coordenadas polares uma reta (quando não passa pela origem) costuma aparecer como r igual a uma função do tipo 1/(\text{combinação linear de }\sin\theta,\cos\theta)çã. Atenção para os valores de \theta que tornam o denominador zero — nesses ângulos a representação polar tem assíntotas (a reta cruza o infinito no sistema polar), o que corresponde geometricamente ao fato de que a reta pode ser paralela a direções onde a representação por r(\theta) explode.

Passo 4

Exemplos numéricos rápidos para fixar (úteis na prova para checar ideias):
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{2} então \sin\theta=1, \cos\theta=0 e
r=\dfrac{1}{1-0}=1,
o que dá o ponto (x,y)=(0,1). Na reta y=1+3x, quando x=0 temos y=1 — confere.
  • Se \theta=0 então \sin\theta=0,\cos\theta=1 e
r=\dfrac{1}{0-3}=-\dfrac{1}{3}.
Isso significa que com \theta=0 (direção do eixo x positivo) o valor polar correspondente tem r<0, o que representa o mesmo ponto na direção oposta; esse comportamento de r negativo é normal em coordenadas polares e representa pontos da reta que ficam “atrás” do polo nessa direção.

Passo 5

Resolvendo o Pedido 2 ( x y = 4).
  1. Substituo x e y:
(r\cos\theta)(r\sin\theta)=4.
  1. Simplifico:
r^2\cos\theta\sin\theta = 4.
  1. Uso a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta. Assim \cos\theta\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sin 2\theta. Substituindo:
r^2\cdot \dfrac{1}{2}\sin 2\theta = 4.
  1. Isolo r^2:
r^2 = \dfrac{8}{\sin 2\theta}.
  1. Comentários sobre domínio e sinais: como r^2\ge 0 temos que o lado direito deve ser não negativo; portanto é necessário que \sin 2\theta>0 (não pode ser zero porque daí r^2 explodiria). Geometricamente, a curva xy=4 tem x e y com o mesmo sinal (produto positivo), ou seja, a hipérbole nos quadrantes I e III. Em termos de \theta, \sin 2\theta>0 quando
\theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right)\quad(\text{mais as repetições periódicas }+2k\pi).çõó
  1. Forma alternativa para r: se for útil escrever r em vez de r^2,
r = \pm\sqrt{\dfrac{8}{\sin 2\theta}},
lembrando que a condição \sin 2\theta>0 é necessária para obter r\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dicas rápidas):
  • Sempre comece substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • Verifique singularidades: denominadores que podem ser zero e condições que garantam r^2\ge0.
  • Se precisar de uma forma mais interpretável, compacte combinações lineares de \sin\theta e \cos\theta usando a técnica a\sin\theta+b\cos\theta = R\sin(\theta-\varphi) com R=\sqrt{a^2+b^2} e \varphi=\arctan(b/a).

Resposta

r=\dfrac{1}{\sin\theta-3\cos\theta} (com \sin\theta-3\cos\theta\neq0)
r^{2}=\dfrac{8}{\sin 2\theta} (com \sin 2\theta>0)

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