Encontre uma equação polar para a curva cartesiana dada.
Encontre uma equação polar para a curva cartesiana dada.
Passo 1
O enunciado pede que se ache uma equação em coordenadas polares para cada uma das curvas cartesianas dadas. Escrevo claramente o que é pedido e o que é fornecido:
- Pedido 1: encontrar uma equação polar equivalente à curva cartesiana
. - Pedido 2: encontrar uma equação polar equivalente à curva cartesiana
.
Informações relevantes dadas:
- Para a curva 1: a relação cartesiana é
. - Para a curva 2: a relação cartesiana é
.
Passo 2
Vamos lembrar e entender como passar de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Isso é essencial e simples:
- Definição básica: em coordenadas polares,
onde
(normalmente se toma
, mas em representações polares pode aparecer
) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
- Estratégia geral: substituir
e pelas expressões polares acima e manipular para obter uma relação entre e .
Vou aplicar essa regra às duas curvas, mostrando passo a passo as substituições e as identidades trigonométricas usadas.
Passo 3
Resolvendo o Pedido 1 (
).
- Substituo
e por suas expressões polares:
- Agrupo os termos com
no mesmo lado:
- Fatore
:
- Isolo
(desde que o fator multiplicador não seja zero):
Isto já é uma equação polar válida: ela dá
como função de
.
- (Explicação didática extra — forma alternativa útil) Às vezes é mais conveniente escrever a combinação
como uma única função seno com deslocamento de fase. Faço isso para interpretar melhor onde aparecem singularidades:
- Calculo
- Existe um ângulo
tal que e ; isso corresponde a . - Então
Logo uma forma equivalente é
com
.
- Observações práticas para a prova: a curva original é uma reta. Em coordenadas polares uma reta (quando não passa pela origem) costuma aparecer como
igual a uma função do tipo . Atenção para os valores de que tornam o denominador zero — nesses ângulos a representação polar tem assíntotas (a reta cruza o infinito no sistema polar), o que corresponde geometricamente ao fato de que a reta pode ser paralela a direções onde a representação por explode.
Passo 4
Exemplos numéricos rápidos para fixar (úteis na prova para checar ideias):
- Se
então , e
o que dá o ponto
. Na reta
, quando
temos
— confere.
- Se
então e
Isso significa que com
(direção do eixo
positivo) o valor polar correspondente tem
, o que representa o mesmo ponto na direção oposta; esse comportamento de
negativo é normal em coordenadas polares e representa pontos da reta que ficam “atrás” do polo nessa direção.
Passo 5
Resolvendo o Pedido 2 (
).
- Substituo
e :
- Simplifico:
- Uso a identidade trigonométrica
. Assim . Substituindo:
- Isolo
:
- Comentários sobre domínio e sinais: como
temos que o lado direito deve ser não negativo; portanto é necessário que (não pode ser zero porque daí explodiria). Geometricamente, a curva tem e com o mesmo sinal (produto positivo), ou seja, a hipérbole nos quadrantes I e III. Em termos de , quando
- Forma alternativa para
: se for útil escrever em vez de ,
lembrando que a condição
é necessária para obter
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dicas rápidas):
- Sempre comece substituindo
e . - Verifique singularidades: denominadores que podem ser zero e condições que garantam
. - Se precisar de uma forma mais interpretável, compacte combinações lineares de
e usando a técnica com e .