—— Questão 24. Mostre que
\int_{0}^{\infty} e^{-a x^{2}} \cos (2 n x) d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}} e^{-\frac{n^{2}}{a}}, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{0}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(2n x)\,dx,\quad a>0.
O conteúdo principal é a integral de Gauss e sua transformada de Fourier, além do uso da simetria de funções pares para passar da reta inteira ao semieixo.

Passo 2

Definamos a função
J(b)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^{2}}e^{i b x}\,dx.
Esta é a transformada de Fourier da gaussiana e vale, por resultado clássico,
J(b)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\frac{b^{2}}{4a}}.

Passo 3

Escrevendo J(b) em parte real e imaginária:
J(b)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(bx)\,dx \;+\;i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^{2}}\sin(bx)\,dx.
Como e^{-a x^{2}}\sin(bx) é função ímpar, sua integral sobre (-\infty,\infty) é zero. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(bx)\,dx =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\frac{b^{2}}{4a}}.

Passo 4

O integrando e^{-a x^{2}}\cos(bx) é par, então
\int_{0}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(bx)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(bx)\,dx =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\frac{b^{2}}{4a}}.

Passo 5

Basta agora tomar b=2n. Então
\int_{0}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(2n x)\,dx =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \,e^{-\frac{(2n)^{2}}{4a}} =\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}\,e^{-\frac{n^{2}}{a}}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}e^{-a x^{2}}\cos(2n x)\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}\,e^{-\frac{n^{2}}{a}}.

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