Questão 24: Considere os subespaços de R^4, W1=(x, y, z, w) in R^4 mid x+y=0 e z-w=0 e W2= (x, y, z, w) in R^4 mid x-y-z+w=0.
a) Determine W1 cap W2.
b) Exiba uma base para W1 cap W2.
c) Determine W1+W2.
d) W1+W2=R^4 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
W1=(x,y,z,w)mid x+y=0,;z-w=0 e
W2=(x,y,z,w)mid x-y-z+w=0.
Pede-se a) interseção, b) base da interseção, c) soma e d) verificar se a soma é R^4. Vamos usar parametrização de subespaços e a fórmula de dimensão de soma.

Passo 2

Parametrizamos W1 resolvendo y=-x e w=z. Assim
(x,y,z,w)=(x,-x,z,z)=x,(1,-1,0,0)+z,(0,0,1,1),
logo dimW1=2 e uma base é (1,-1,0,0),(0,0,1,1).

Passo 3

Para achar W1capW2, imponho a condição de W2,
substituindo na equação x-y-z+w=0 a parametrização de W1:
x-(-x)-z+z=2x=0Longrightarrow x=0,;y=0,;w=z
Portanto todo vetor da interseção é (0,0,z,z).

Passo 4

Daí segue que
W1capW2=(0,0,z,z)mid zinR
e tem dimensão 1.

Passo 5

Uma base de W1capW2 é
(0,0,1,1).

Passo 6

Temos dimW1=2, dimW2=3 (uma única equação linear) e
dim(W1capW2)=1.
Pela fórmula
dim(W1+W2) =dimW1+dimW2-dim(W1capW2) =2+3-1=4
Como R^4 tem dimensão 4, segue W1+W2=R^4.

Resposta

a) W1capW2=(0,0,z,z)mid zinR
b) Uma base é (0,0,1,1)
c) W1+W2=R^4
d) Sim, pois dim(W1+W2)=4=dim(R^4).

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