Questão 24: Considere os subespaços de
e
e
.
a) Determine
.
b) Exiba uma base para
.
c) Determine
.
d)
? Justifique.
a) Determine
b) Exiba uma base para
c) Determine
d)
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e
.
Pede-se a) interseção, b) base da interseção, c) soma e d) verificar se a soma é . Vamos usar parametrização de subespaços e a fórmula de dimensão de soma.
Pede-se a) interseção, b) base da interseção, c) soma e d) verificar se a soma é
Passo 2
Parametrizamos
resolvendo
e
. Assim
logo
e uma base é
.
Passo 3
Para achar
, imponho a condição de
,
substituindo na equação a parametrização de
:
substituindo na equação
Portanto todo vetor da interseção é
.
Passo 4
Daí segue que
e tem dimensão 1.
Passo 5
Uma base de
é
.
Passo 6
Temos
,
(uma única equação linear) e
.
Pela fórmula
Pela fórmula
Como
tem dimensão 4, segue
.
Resposta
a)
b) Uma base é
c)
d) Sim, pois .
b) Uma base é
c)
d) Sim, pois