Use exemplos concretos para mostrar que as seguintes igualdades nãão valem, em geral:
det(k A)=k det(A), onde k é um número real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em geral,
det(kA)neq k,det(A),
onde A é uma matriz quadrada de ordem n>1 e k é um escalar real. O que sabemos da teoria é que, na verdade,
det(kA)=k^n,det(A)
Para evidenciar que não vale a hipótese errada, vamos usar dois exemplos concretos: um para matrizes 2times2 e outro para matrizes 3times3.

Passo 2

Exemplo 2times 2: seja
A = 1 & 2 3 & 4, k=2
Então
det(A) = 1 cdot 4 - 2 cdot 3 = -2
A matriz escalada é
2A = 2 & 4 6 & 8,
e
det(2A) = 2 cdot 8 - 4 cdot 6 = 16 - 24 = -8
Por outro lado,
2 , det(A) = 2 cdot (-2) = -4,
e claramente
-8 neq -4,
logo det(2A) neq 2 , det(A).

Passo 3

Exemplo 3times3: seja
A=I3, k=3,
onde I3 é a matriz identidade de ordem 3. Temos
det(A)=det(I3)=1
Por definição de determinante sob multiplicação escalar,
det(3A)=det(3I3)=3^3det(I3)=27,
enquanto
3,det(A)=3cdot1=3,
logo
27neq3,
ou seja det(3A)neq3,det(A).

Passo 4

Dos dois exemplos vemos que, para matriz de ordem n,
det(kA)=k^ndet(A)
e não k,det(A), salvo nos casos triviais em que n=1 ou k=0. Assim, a igualdade proposta não se mantém em geral.

Resposta

Contraexemplos mostram que normalmente
det(kA)=k^ndet(A)neq k,det(A),
logo a igualdade det(kA)=k,det(A) não vale em geral.

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