Use exemplos concretos para mostrar que as seguintes igualdades nãão valem, em geral:
, onde
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em geral,
onde
é uma matriz quadrada de ordem
e
é um escalar real. O que sabemos da teoria é que, na verdade,
Para evidenciar que não vale a hipótese errada, vamos usar dois exemplos concretos: um para matrizes
e outro para matrizes
.
Passo 2
Exemplo
: seja
Então
A matriz escalada é
e
Por outro lado,
e claramente
logo
det(2A) neq 2 , det(A) .
Passo 3
Exemplo
3times3 : seja
onde
I3 é a matriz identidade de ordem
3 . Temos
Por definição de determinante sob multiplicação escalar,
enquanto
logo
ou seja
det(3A)neq3,det(A) .
Passo 4
Dos dois exemplos vemos que, para matriz de ordem
n ,
e não
k,det(A) , salvo nos casos triviais em que
n=1 ou
k=0 . Assim, a igualdade proposta não se mantém em geral.
Resposta
Contraexemplos mostram que normalmente
logo a igualdade
det(kA)=k,det(A) não vale em geral.