Questão 24 Construa o que se pede:
Um exemplo de um grupo não abeliano G, tal que todos os subgrupos são normais.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de grupo G não-abeliano tal que todos os seus subgrupos são normais. O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos: precisamos definir um grupo não-comutativo e mostrar que cada subgrupo dele é invariável por conjugação (ou seja, é normal).

Passo 2

Definimos o grupo de quaterniões unitários Q8 como
Q8 = pm1,pm i,pm j,pm k
com a multiplicação sujeita às relações
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

Passo 3

Para ver que Q8 não é abeliano, observe que
ij = k, ji = -k
Logo ij neq ji, o que mostra que a operação não é comutativa.

Passo 4

Listamos todos os subgrupos de Q8:
  • o trivial 1 e o próprio Q8,
  • o centro 1,-1,
  • os subgrupos de ordem 4
    pm1,pm i,
    pm1,pm j e
    pm1,pm k.

Passo 5

Agora mostramos que cada um desses subgrupos é normal em Q8:
  • 1 e Q8 são sempre normais.
  • 1,-1 é o centro de Q8, logo todo elemento de Q8 comuta com cada elemento de 1,-1.
  • Cada subgrupo de ordem 4 tem índice 2 em Q8 (pois lvert Q8rvert=8), e subgrupos de índice 2 são sempre normais.
Assim, todos os subgrupos de Q8 são invariantes por conjugação.

Resposta

Um exemplo é o grupo de quaterniões unitários
Q8 = pm1,pm i,pm j,pm k,
que é não-abeliano e cujos únicos subgrupos (trivial, centro, três de ordem 4 e o próprio Q8) são todos normais.

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