Questão 24 Construa o que se pede:
Um exemplo de um grupo não abeliano
, tal que todos os subgrupos são normais.
Um exemplo de um grupo não abeliano
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de grupo
não-abeliano tal que todos os seus subgrupos são normais. O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos: precisamos definir um grupo não-comutativo e mostrar que cada subgrupo dele é invariável por conjugação (ou seja, é normal).
Passo 2
Definimos o grupo de quaterniões unitários
como
com a multiplicação sujeita às relações
Passo 3
Para ver que
não é abeliano, observe que
Logo
, o que mostra que a operação não é comutativa.
Passo 4
Listamos todos os subgrupos de
:
- o trivial
e o próprio , - o centro
, - os subgrupos de ordem 4
,
e
.
Passo 5
Agora mostramos que cada um desses subgrupos é normal em
:
-
e são sempre normais. -
é o centro de , logo todo elemento de comuta com cada elemento de . - Cada subgrupo de ordem 4 tem índice 2 em
(pois ), e subgrupos de índice 2 são sempre normais.
Assim, todos os subgrupos de
são invariantes por conjugação.
Resposta
Um exemplo é o grupo de quaterniões unitários
que é não-abeliano e cujos únicos subgrupos (trivial, centro, três de ordem 4 e o próprio
) são todos normais.