Questão 24 Construa o que se pede:
Um exemplo onde
é um grupo,
e
.
Um exemplo onde
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de um grupo
e dois subgrupos próprios
e
tais que a ordem de
seja estritamente menor que
. Vamos usar o grupo diédrico de ordem 8, cujos subgrupos de rotações e de uma reflexão têm interseção trivial.
Passo 2
Definimos o grupo diédrico
onde
é a rotação de
(logo
) e
é uma reflexão (logo
e
).
Passo 3
Escolhemos os subgrupos
Assim
e
, de modo que
Passo 4
Para achar
, note que
contém apenas rotações e
contém apenas reflexões mais a identidade. A única forma de um elemento de
ser rotação é ser a identidade. Logo
e portanto
.
Passo 5
Comparando, temos
como se pedia.
Resposta
Tomando
,
de ordem
e
de ordem
,
obtemos
obtemos