Questão 24 Construa o que se pede:
Um exemplo onde G é um grupo, H<G, K<G e o(H cap K)<m d c(o(H), o(K)).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um grupo G e dois subgrupos próprios H e K tais que a ordem de Hcap K seja estritamente menor que gcdl(o(H),o(K)r). Vamos usar o grupo diédrico de ordem 8, cujos subgrupos de rotações e de uma reflexão têm interseção trivial.

Passo 2

Definimos o grupo diédrico
G = D4 = e,;r,;r^2,;r^3,;s,;rs,;r^2s,;r^3s,
onde r é a rotação de 90^circ (logo r^4=e) e s é uma reflexão (logo s^2=e e srs=r^-1).

Passo 3

Escolhemos os subgrupos
H = lang<= rrang<= = e,;r,;r^2,;r^3 e K = lang<= srang<= = e,;s
Assim o(H)=4 e o(K)=2, de modo que
gcdl(o(H),o(K)r)=gcd(4,2)=2

Passo 4

Para achar Hcap K, note que H contém apenas rotações e K contém apenas reflexões mais a identidade. A única forma de um elemento de K ser rotação é ser a identidade. Logo
Hcap K = e,
e portanto o(Hcap K)=1.

Passo 5

Comparando, temos
o(Hcap K)=1 ;<; 2 =gcdl(o(H),o(K)r),
como se pedia.

Resposta

Tomando
G=D4,
H=lang<= rrang<= de ordem 4 e
K=lang<= srang<= de ordem 2,
obtemos
o(Hcap K)=1<2=gcdl(o(H),o(K)r)

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