Questão 28 (ENA-PROFMAT-2012-adaptada). Meninas formaram uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta garota à direita de Denise. De quantos modos podemos organizar essas meninas nessa roda se Maria e Denise não podem ficar juntas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (sem resolver nada ainda):
  • Há um certo número desconhecido de meninas sentadas em roda (vamos chamar esse número de n).
  • Maria é a quinta garota à esquerda de Denise.
  • Maria é a sexta garota à direita de Denise.
  • A pergunta: de quantos modos podemos organizar essas meninas nessa roda se Maria e Denise não podem ficar juntas?
Informações relevantes a listar:
  • Precisamos descobrir n (número total de meninas), porque as posições “quinta à esquerda” e “sexta à direita” relacionam Maria e Denise e determinam n.
  • Depois de saber n, devemos contar o número de arranjos circulares distintos de todas as meninas, com a condição de que Maria e Denise não sejam vizinhas.
  • Todas as meninas são distintas entre si (presumido usualmente em problemas de posição).

Passo 2

Interpretar o que significa “Maria é a quinta à esquerda de Denise” e “a sexta à direita de Denise”, e traduzir isso em uma equação que permita encontrar n.
Explicação do conceito (bem devagar): numa roda com n pessoas, fixando-se uma pessoa (por exemplo Denise) e andando para a direita contamos posições 1,2,\dots até voltar. Ser “k-ésimo à direita” significa que, ao avançar k lugares para a direita a partir de Denise, chega-se a Maria. Ser “k-ésimo à esquerda” é a mesma ideia, mas na direção oposta; isso equivale a ser (n-k)-ésimo à direita (porque ir k para a esquerda é o mesmo que ir n-k para a direita).
Converter as duas afirmações em congruência módulo n:
  • “Maria é a quinta à esquerda de Denise” significa que o deslocamento de Denise a Maria, contado para a direita, é (n-5).
  • “Maria é a sexta à direita de Denise” significa que o deslocamento contado para a direita é 6.
Portanto esses deslocamentos representam a mesma posição de Maria, logo
n-5 \equiv 6 \pmod{n}.
Subtraindo 6 dos dois lados ou somando 5,
n \equiv 11 \pmod{n},
o que significa que n divide 11. Como n é o número de meninas e claramente maior que 6 (porque Maria é 6ª à direita), a única possibilidade é
n = 11.
Logo há exatamente 11 meninas na roda.

Passo 3

Contar o número total de arranjos circulares distintos de 11 meninas (sem ainda impor “não juntas”).
Explicação do conceito de permutação circular: para n pessoas distintas dispostas em um círculo, arranjos que podem ser obtidos um do outro por rotação são considerados iguais. Uma maneira simples de ver a fórmula é fixar uma pessoa (por exemplo fixar a posição de Denise) e permutar as outras n-1 livremente em linha; isso dá (n-1)! arranjos distintos. Portanto, para n=11 o número total de arranjos circulares é
(11-1)! = 10!.

Passo 4

Contar quantos arranjos têm Maria e Denise juntas (adjacentes). Usaremos o método do “bloco”.
Explicação do método do bloco: se queremos que duas pessoas fiquem juntas, juntamos as duas em um único bloco que se move como uma única entidade. Nesse caso, esse bloco mais as outras 9 pessoas formam 10 entidades ao redor da roda.
  • O número de arranjos circulares dessas 10 entidades é (10-1)! = 9!.
  • Dentro do bloco Maria–Denise há 2 ordens possíveis (Maria à direita de Denise ou Maria à esquerda de Denise), então multiplicamos por 2.
Logo o número de arranjos em que Maria e Denise são vizinhas é
2\cdot 9!.

Passo 5

Calcular o número de arranjos em que Maria e Denise NÃO ficam juntas subtraindo os casos juntos do total.
Fórmula e simplificação:
\text{não-juntas} = 10! - 2\cdot 9! = 9!\,(10 - 2) = 8\cdot 9!.ã
Agora calcular numericamente (passo a passo):
9! = 1\cdot2\cdot3\cdots9 = 362880,
8\cdot 9! = 8\cdot 362880 = 2903040.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (bem curto): as duas condições sobre posições fixam n=11. O total de arranjos circulares é 10!. Os arranjos com Maria e Denise juntas são 2\cdot9!. Subtraindo, obtemos 10!-2\cdot9!=8\cdot9!=2903040.

Resposta

2903040

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