Questão 28 (ENA-PROFMAT-2012-adaptada). Meninas formaram uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta garota à direita de Denise. De quantos modos podemos organizar essas meninas nessa roda se Maria e Denise não podem ficar juntas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (sem resolver nada ainda):
- Há um certo número desconhecido de meninas sentadas em roda (vamos chamar esse número de
). - Maria é a quinta garota à esquerda de Denise.
- Maria é a sexta garota à direita de Denise.
- A pergunta: de quantos modos podemos organizar essas meninas nessa roda se Maria e Denise não podem ficar juntas?
Informações relevantes a listar:
- Precisamos descobrir
(número total de meninas), porque as posições “quinta à esquerda” e “sexta à direita” relacionam Maria e Denise e determinam . - Depois de saber
, devemos contar o número de arranjos circulares distintos de todas as meninas, com a condição de que Maria e Denise não sejam vizinhas. - Todas as meninas são distintas entre si (presumido usualmente em problemas de posição).
Passo 2
Interpretar o que significa “Maria é a quinta à esquerda de Denise” e “a sexta à direita de Denise”, e traduzir isso em uma equação que permita encontrar
.
Explicação do conceito (bem devagar): numa roda com
pessoas, fixando-se uma pessoa (por exemplo Denise) e andando para a direita contamos posições
até voltar. Ser “k-ésimo à direita” significa que, ao avançar
lugares para a direita a partir de Denise, chega-se a Maria. Ser “k-ésimo à esquerda” é a mesma ideia, mas na direção oposta; isso equivale a ser
-ésimo à direita (porque ir
para a esquerda é o mesmo que ir
para a direita).
Converter as duas afirmações em congruência módulo
:
- “Maria é a quinta à esquerda de Denise” significa que o deslocamento de Denise a Maria, contado para a direita, é
. - “Maria é a sexta à direita de Denise” significa que o deslocamento contado para a direita é
.
Portanto esses deslocamentos representam a mesma posição de Maria, logo
Subtraindo
dos dois lados ou somando
,
o que significa que
divide
. Como
é o número de meninas e claramente maior que
(porque Maria é 6ª à direita), a única possibilidade é
Logo há exatamente
meninas na roda.
Passo 3
Contar o número total de arranjos circulares distintos de
meninas (sem ainda impor “não juntas”).
Explicação do conceito de permutação circular: para
pessoas distintas dispostas em um círculo, arranjos que podem ser obtidos um do outro por rotação são considerados iguais. Uma maneira simples de ver a fórmula é fixar uma pessoa (por exemplo fixar a posição de Denise) e permutar as outras
livremente em linha; isso dá
arranjos distintos. Portanto, para
o número total de arranjos circulares é
Passo 4
Contar quantos arranjos têm Maria e Denise juntas (adjacentes). Usaremos o método do “bloco”.
Explicação do método do bloco: se queremos que duas pessoas fiquem juntas, juntamos as duas em um único bloco que se move como uma única entidade. Nesse caso, esse bloco mais as outras
pessoas formam
entidades ao redor da roda.
- O número de arranjos circulares dessas
entidades é . - Dentro do bloco Maria–Denise há
ordens possíveis (Maria à direita de Denise ou Maria à esquerda de Denise), então multiplicamos por .
Logo o número de arranjos em que Maria e Denise são vizinhas é
Passo 5
Calcular o número de arranjos em que Maria e Denise NÃO ficam juntas subtraindo os casos juntos do total.
Fórmula e simplificação:
Agora calcular numericamente (passo a passo):
Passo 6
Resumo final do raciocínio (bem curto): as duas condições sobre posições fixam
. O total de arranjos circulares é
. Os arranjos com Maria e Denise juntas são
. Subtraindo, obtemos
.
Resposta
2903040