Questão 27 (ENA-PROFMAT-2013-discursiva). Cristina e Pedro vão com outros seis amigos, três moças e três rapazes, para uma excursão. No ônibus que vai fazer a viagem sobraram apenas quatro
bancos vagos, cada um deles com dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco vago será ocupado por uma moça e um rapaz, e que Cristina e Pedro se sentarão juntos. Respeitandose esse acerto, de quantas maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos assentos vagos do ônibus? Justifique sua resposta.

Passo 1

Calma, vamos entender direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Pessoas: Cristina e Pedro, mais outros seis amigos, sendo três moças e três rapazes. Ou seja, no total há quatro moças (Cristina + 3) e quatro rapazes (Pedro + 3).
  • Assentos vagos: sobraram quatro bancos, cada banco com dois assentos, todos numerados (ou seja, cada assento é distinto).
  • Restrição 1: cada banco vago será ocupado por uma moça e um rapaz (um por banco).
  • Restrição 2: Cristina e Pedro devem sentar-se juntos (ou seja, no mesmo banco).
  • O que é pedido: contar de quantas maneiras o grupo pode ocupar os assentos vagos do ônibus, respeitando as restrições.
Observações importantes que vou usar depois (peguei essas informações do enunciado): existem exatamente quatro bancos numerados; os assentos dentro de cada banco também são numerados (portanto, a ordem dos dois ocupantes do mesmo banco importa); e as demais pessoas além de Cristina e Pedro são três moças distintas e três rapazes distintos.

Passo 2

Como modelar o problema (sem contar ainda): vou numerar os bancos como 1,2,3,4 e, dentro de cada banco, identificar os dois lugares como, por exemplo, assento A e assento B (ou simplesmente “esquerda” e “direita”); isso reforça que todos os assentos são distintos.
Princípio que vou usar: princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo). Ele diz que, se uma tarefa pode ser feita escolhendo-se uma opção de um conjunto de m opções e depois uma opção de um conjunto de n opções independentes, então o número total de maneiras é m\cdot n. Essa ideia generaliza: quando há várias etapas independentes, multiplica-se o número de opções de cada etapa.
Também vou usar fatoriais: para enumerar todas as maneiras de colocar k pessoas distintas em k lugares distintos, existem k! maneiras, onde k! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots k. Vou explicar cada etapa de escolha e depois multiplicar as contagens.

Passo 3

Escolher o banco onde Cristina e Pedro vão sentar juntos.
  • Como há quatro bancos numerados e Cristina e Pedro devem ocupar o mesmo banco, há exatamente 4 escolhas para qual banco será o deles.
Explicação didática: cada banco numerado é uma opção distinta; escolher o banco para o par (Cristina, Pedro) é a primeira etapa, com 4 possibilidades.

Passo 4

Para o banco escolhido, escolher a disposição dos dois dentro dos dois assentos (quem fica no assento A e quem no B).
  • Cristina e Pedro são duas pessoas distintas e os dois assentos do banco são distintos, então há 2 maneiras de colocá-los (Cristina em A e Pedro em B ou Cristina em B e Pedro em A).
Explicação: é a aplicação simples do princípio multiplicativo para dois lugares distintos ocupados por duas pessoas distintas; equivalente a 2!.

Passo 5

Agora restam 3 moças distintas e 3 rapazes distintos e 3 bancos (os que sobraram). A restrição exige que em cada um desses bancos fique uma moça e um rapaz.
Primeiro vamos decidir qual moça vai para qual banco (apenas as moças).
  • As moças são 3 pessoas distintas e os bancos restantes são 3 lugares “de moça” (cada banco terá uma moça). O número de maneiras de atribuir as 3 moças aos 3 bancos distintos é 3!.
Explicação didática: 3! conta todas as permutações das três moças em três posições distintas; por exemplo, se as moças são M_1,M_2,M_3 e os bancos restantes são B_1,B_2,B_3, cada bijeção de \{M_1,M_2,M_3\} para \{B_1,B_2,B_3\} é uma forma válida.

Passo 6

Em seguida, decidir qual rapaz vai para qual banco (apenas os rapazes restantes).
  • De forma análoga, os 3 rapazes distintos podem ser atribuídos aos 3 bancos restantes de 3! maneiras.
Explicação: a escolha das atribuições de rapazes é independente da escolha das moças (desde que cada banco receba um rapaz), então aplicamos o princípio multiplicativo depois.

Passo 7

Dentro de cada um dos 3 bancos restantes, depois de fixarmos “quem é a moça do banco” e “quem é o rapaz do banco”, há 2 maneiras de ordenar esses dois ocupantes nos dois assentos do banco (moça no assento A e rapaz no B, ou o contrário). Como isso ocorre para cada um dos 3 bancos, o número total de ordenações internas é 2^3.
Explicação didática: para cada banco independente há 2 escolhas, e multiplicamos 2\cdot2\cdot2 = 2^3.

Passo 8

Agora juntamos todas as escolhas independentes usando o princípio multiplicativo:
  • Escolha do banco para Cristina e Pedro: 4.
  • Ordem entre Cristina e Pedro no banco escolhido: 2.
  • Atribuição das 3 moças aos 3 bancos restantes: 3!.
  • Atribuição dos 3 rapazes aos 3 bancos restantes: 3!.
  • Ordenação interna em cada um dos 3 bancos restantes: 2^3.
Portanto, o número total de arranjos (respeitando todas as restrições) é
4 \cdot 2 \cdot 3! \cdot 3! \cdot 2^3.

Resposta

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