Questão 27 (ENA-PROFMAT-2013-discursiva). Cristina e Pedro vão com outros seis amigos, três moças e três rapazes, para uma excursão. No ônibus que vai fazer a viagem sobraram apenas quatro
bancos vagos, cada um deles com dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco vago será ocupado por uma moça e um rapaz, e que Cristina e Pedro se sentarão juntos. Respeitandose esse acerto, de quantas maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos assentos vagos do ônibus? Justifique sua resposta.
bancos vagos, cada um deles com dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco vago será ocupado por uma moça e um rapaz, e que Cristina e Pedro se sentarão juntos. Respeitandose esse acerto, de quantas maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos assentos vagos do ônibus? Justifique sua resposta.
Passo 1
Calma, vamos entender direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Pessoas: Cristina e Pedro, mais outros seis amigos, sendo três moças e três rapazes. Ou seja, no total há quatro moças (Cristina + 3) e quatro rapazes (Pedro + 3).
- Assentos vagos: sobraram quatro bancos, cada banco com dois assentos, todos numerados (ou seja, cada assento é distinto).
- Restrição 1: cada banco vago será ocupado por uma moça e um rapaz (um por banco).
- Restrição 2: Cristina e Pedro devem sentar-se juntos (ou seja, no mesmo banco).
- O que é pedido: contar de quantas maneiras o grupo pode ocupar os assentos vagos do ônibus, respeitando as restrições.
Observações importantes que vou usar depois (peguei essas informações do enunciado): existem exatamente quatro bancos numerados; os assentos dentro de cada banco também são numerados (portanto, a ordem dos dois ocupantes do mesmo banco importa); e as demais pessoas além de Cristina e Pedro são três moças distintas e três rapazes distintos.
Passo 2
Como modelar o problema (sem contar ainda): vou numerar os bancos como
e, dentro de cada banco, identificar os dois lugares como, por exemplo, assento
e assento
(ou simplesmente “esquerda” e “direita”); isso reforça que todos os assentos são distintos.
Princípio que vou usar: princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo). Ele diz que, se uma tarefa pode ser feita escolhendo-se uma opção de um conjunto de
opções e depois uma opção de um conjunto de
opções independentes, então o número total de maneiras é
. Essa ideia generaliza: quando há várias etapas independentes, multiplica-se o número de opções de cada etapa.
Também vou usar fatoriais: para enumerar todas as maneiras de colocar
pessoas distintas em
lugares distintos, existem
maneiras, onde
. Vou explicar cada etapa de escolha e depois multiplicar as contagens.
Passo 3
Escolher o banco onde Cristina e Pedro vão sentar juntos.
- Como há quatro bancos numerados e Cristina e Pedro devem ocupar o mesmo banco, há exatamente
escolhas para qual banco será o deles.
Explicação didática: cada banco numerado é uma opção distinta; escolher o banco para o par (Cristina, Pedro) é a primeira etapa, com
possibilidades.
Passo 4
Para o banco escolhido, escolher a disposição dos dois dentro dos dois assentos (quem fica no assento
e quem no
).
- Cristina e Pedro são duas pessoas distintas e os dois assentos do banco são distintos, então há
maneiras de colocá-los (Cristina em e Pedro em ou Cristina em e Pedro em ).
Explicação: é a aplicação simples do princípio multiplicativo para dois lugares distintos ocupados por duas pessoas distintas; equivalente a
.
Passo 5
Agora restam
moças distintas e
rapazes distintos e
bancos (os que sobraram). A restrição exige que em cada um desses bancos fique uma moça e um rapaz.
Primeiro vamos decidir qual moça vai para qual banco (apenas as moças).
- As moças são
pessoas distintas e os bancos restantes são lugares “de moça” (cada banco terá uma moça). O número de maneiras de atribuir as moças aos bancos distintos é .
Explicação didática:
conta todas as permutações das três moças em três posições distintas; por exemplo, se as moças são
e os bancos restantes são
, cada bijeção de
para
é uma forma válida.
Passo 6
Em seguida, decidir qual rapaz vai para qual banco (apenas os rapazes restantes).
- De forma análoga, os
rapazes distintos podem ser atribuídos aos bancos restantes de maneiras.
Explicação: a escolha das atribuições de rapazes é independente da escolha das moças (desde que cada banco receba um rapaz), então aplicamos o princípio multiplicativo depois.
Passo 7
Dentro de cada um dos
bancos restantes, depois de fixarmos “quem é a moça do banco” e “quem é o rapaz do banco”, há
maneiras de ordenar esses dois ocupantes nos dois assentos do banco (moça no assento
e rapaz no
, ou o contrário). Como isso ocorre para cada um dos
bancos, o número total de ordenações internas é
.
Explicação didática: para cada banco independente há 2 escolhas, e multiplicamos
.
Passo 8
Agora juntamos todas as escolhas independentes usando o princípio multiplicativo:
- Escolha do banco para Cristina e Pedro:
. - Ordem entre Cristina e Pedro no banco escolhido:
. - Atribuição das
moças aos bancos restantes: . - Atribuição dos
rapazes aos bancos restantes: . - Ordenação interna em cada um dos
bancos restantes: .
Portanto, o número total de arranjos (respeitando todas as restrições) é