Resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada por
Informações que temos:
- A incógnita é a função
. - A relação entre
e suas derivadas é explícita na equação acima. - Não foi dada condição inicial; portanto busca-se a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Método escolhido: separação de variáveis. Por que isso?
A equação tem a derivada expressa como uma função que pode ser escrita como produto de uma função de
por uma função de
(aqui,
). Sempre que for possível escrever a equação no formato
A equação tem a derivada
podemos separar as variáveis e integrar: colocar todos os termos com
de um lado (em
) e os termos com
do outro (em
). Isso é bem prático em provas e é exatamente o caso aqui.
Passo 3
Vamos separar as variáveis explicitamente. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e por
(operações algébricas válidas quando
), obtemos
Este é o passo típico de “colocar
com
e
com
”.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Integrais indefinidas:
No lado esquerdo integraremos
. Regra: a primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
em relação a
é
.
No lado direito integraremos
. Regra: a primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
.
Portanto
implica
onde
é a constante de integração (número real arbitrário que aparece quando se toma integrais indefinidas).
Passo 5
Isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
onde aqui escrevi
; como
é arbitrário, podemos voltar a chamá-lo de
. Assim uma forma conveniente da solução implícita é
Tomando raiz quadrada (lembrando do sinal ± por causa da raiz quadrada de um quadrado),
Essa é a forma explícita da solução geral. Aqui
é constante arbitrária, e a expressão dentro da raiz deve ser não negativa para os
onde a solução for definida.
Passo 6
Observações importantes sobre domínio e sinais (úteis na prova):
- A equação original tem
no lado direito, portanto nunca pode ser zero em pontos onde a equação é válida (pois a divisão por zero não faz sentido). Logo uma solução contínua não pode atravessar ; o sinal “+” ou “−” em é fixado por uma condição inicial (se houver). - Se for dada uma condição inicial
então substitui-se esses valores em para determinar : O sinal da raiz é escolhido conforme ser positivo ou negativo. - Não existe a solução identicamente
porque aí o lado direito seria indefinido.
Passo 7
Verificação rápida (como checar numa prova): derivando
pelo método da cadeia:
o que recupera a equação original. Logo a solução está correta.