Resolva a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}}{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada por
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}}{y}.
Informações que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A relação entre y e suas derivadas é explícita na equação acima.
  • Não foi dada condição inicial; portanto busca-se a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Método escolhido: separação de variáveis. Por que isso?
A equação tem a derivada dy/dx expressa como uma função que pode ser escrita como produto de uma função de x por uma função de y (aqui, \dfrac{e^{x}}{y}). Sempre que for possível escrever a equação no formato
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
podemos separar as variáveis e integrar: colocar todos os termos com y de um lado (em dy) e os termos com x do outro (em dx). Isso é bem prático em provas e é exatamente o caso aqui.

Passo 3

Vamos separar as variáveis explicitamente. Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y e por dx (operações algébricas válidas quando y\neq0), obtemos
y\,dy = e^{x}\,dx.
Este é o passo típico de “colocar y com dy e x com dx”.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Integrais indefinidas:
No lado esquerdo integraremos \int y\,dy. Regra: a primitiva de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{2}, porque a derivada de \tfrac{1}{2}y^{2} em relação a y é y.
No lado direito integraremos \int e^{x}\,dx. Regra: a primitiva de e^{x} em relação a x é e^{x}, porque a derivada de e^{x} é e^{x}.
Portanto
\int y\,dy = \int e^{x}\,dx
implica
\frac{1}{2}y^{2} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário que aparece quando se toma integrais indefinidas).

Passo 5

Isolamos y. Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
y^{2} = 2e^{x} + C',
onde aqui escrevi C' = 2C; como C é arbitrário, podemos voltar a chamá-lo de C. Assim uma forma conveniente da solução implícita é
y^{2} = 2e^{x} + C.
Tomando raiz quadrada (lembrando do sinal ± por causa da raiz quadrada de um quadrado),
y(x)=\pm\sqrt{\,2e^{x}+C\,}.
Essa é a forma explícita da solução geral. Aqui C\in\mathbb{R} é constante arbitrária, e a expressão dentro da raiz deve ser não negativa para os x onde a solução for definida.

Passo 6

Observações importantes sobre domínio e sinais (úteis na prova):
  • A equação original tem e^{x}/y no lado direito, portanto y(x) nunca pode ser zero em pontos onde a equação é válida (pois a divisão por zero não faz sentido). Logo uma solução contínua não pode atravessar y=0; o sinal “+” ou “−” em y=\pm\sqrt{2e^{x}+C} é fixado por uma condição inicial (se houver).
  • Se for dada uma condição inicial y(x_{0})=y_{0} então substitui-se esses valores em y^{2}=2e^{x}+C para determinar C: \,C=y_{0}^{2}-2e^{x_{0}}. O sinal da raiz é escolhido conforme y_{0} ser positivo ou negativo.
  • Não existe a solução identicamente y\equiv0 porque aí o lado direito \dfrac{e^{x}}{y} seria indefinido.

Passo 7

Verificação rápida (como checar numa prova): derivando y(x)=\pm\sqrt{2e^{x}+C} pelo método da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\pm\frac{1}{2\sqrt{2e^{x}+C}}\cdot 2e^{x}=\frac{e^{x}}{\pm\sqrt{2e^{x}+C}}=\frac{e^{x}}{y},
o que recupera a equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y^{2}=2e^{x}+C
y=\pm\sqrt{2e^{x}+C}, \;C\in\mathbb{R} (definida para 2e^{x}+C\ge0, escolha do sinal por condição inicial)

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