Questão 24 Encontre a equação da reta em cada caso:
Reta que passa pelo ponto
e forma ângulo de
com o eixo
.
Reta que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá um ponto e um ângulo e pede a equação da reta. Informações fornecidas:
- A reta passa pelo ponto
. - A reta forma um ângulo de
com o eixo .
O que é pedido:
- A equação da(s) reta(s) que satisfaz(em) essas condições.
Passo 2
Conceito importante (o que vou usar): a inclinação (coeficiente angular) de uma reta, chamada
, é a tangente do ângulo
que a reta faz com o eixo
. Em símbolos:
onde
é o número que diz quanto a reta sobe (variação em
) para cada unidade que anda em
. Esta relação vem da definição de tangente em um triângulo retângulo:
, que é exatamente “subida/avanço” = “declive” =
.
Passo 3
Calcular
. Usando o triângulo especial
(lado oposto a
vale
, lado adjacente vale
, hipotenusa vale
), tem-se
Mostrei a igualdade racionalizada para obter a forma
, que é a forma usual em respostas.
Passo 4
Fórmula da reta passando por um ponto
com coeficiente angular
(fórmula ponto-declive):
Como o ponto é
, isto simplifica para
Substituindo
, obtemos a reta
Passo 5
Observação sobre interpretação: quando se diz que uma reta "forma ângulo de
com o eixo
", às vezes interpreta-se o ângulo como a medida aguda entre a reta e o eixo — nesse caso há duas retas que fazem ângulo
com o eixo
: uma com ângulo direcional
(coeficiente
) e outra com ângulo direcional
(coeficiente
). Assim, a outra reta possível é
Se o enunciado quer o ângulo orientado medido a partir do eixo positivo
no sentido anti-horário, a reta correspondente é a do Passo 4; se quer apenas o ângulo agudo entre as direções (medida sem orientação), ambas as equações acima são respostas válidas.
Passo 6
Verificação rápida (para ficar tranquilo): escolha
. Na primeira reta,
logo o ponto
está na reta; a inclinação é positiva e pequena, compatível com
. Na segunda reta, para
obtém-se
, que dá a reta inclinada para baixo formando igualmente
com o eixo (em valor absoluto).