Questão 24 Encontre a equação da reta em cada caso:
Reta que passa pelo ponto (0,0) e forma ângulo de 30^{\circ} com o eixo x.

Passo 1

O enunciado dá um ponto e um ângulo e pede a equação da reta. Informações fornecidas:
  • A reta passa pelo ponto (0,0).
  • A reta forma um ângulo de 30^\circ com o eixo x.
O que é pedido:
  • A equação da(s) reta(s) que satisfaz(em) essas condições.

Passo 2

Conceito importante (o que vou usar): a inclinação (coeficiente angular) de uma reta, chamada m, é a tangente do ângulo \theta que a reta faz com o eixo x. Em símbolos:
m=\tan(\theta),
onde m é o número que diz quanto a reta sobe (variação em y) para cada unidade que anda em x. Esta relação vem da definição de tangente em um triângulo retângulo: \tan(\theta)=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}, que é exatamente “subida/avanço” = “declive” = m.

Passo 3

Calcular \tan(30^\circ). Usando o triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ (lado oposto a 30^\circ vale 1, lado adjacente vale \sqrt{3}, hipotenusa vale 2), tem-se
\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Mostrei a igualdade racionalizada para obter a forma \dfrac{\sqrt{3}}{3}, que é a forma usual em respostas.

Passo 4

Fórmula da reta passando por um ponto (x_0,y_0) com coeficiente angular m (fórmula ponto-declive):
y-y_0=m(x-x_0).
Como o ponto é (0,0), isto simplifica para
y = m x.
Substituindo m=\tan(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, obtemos a reta
y=\frac{\sqrt{3}}{3}\,x.

Passo 5

Observação sobre interpretação: quando se diz que uma reta "forma ângulo de 30^\circ com o eixo x", às vezes interpreta-se o ângulo como a medida aguda entre a reta e o eixo — nesse caso há duas retas que fazem ângulo 30^\circ com o eixo x: uma com ângulo direcional +30^\circ (coeficiente +\tan30^\circ) e outra com ângulo direcional 180^\circ-30^\circ=150^\circ (coeficiente \tan150^\circ=-\tan30^\circ). Assim, a outra reta possível é
y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\,x.
Se o enunciado quer o ângulo orientado medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário, a reta correspondente é a do Passo 4; se quer apenas o ângulo agudo entre as direções (medida sem orientação), ambas as equações acima são respostas válidas.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo): escolha x= \sqrt{3}. Na primeira reta,
y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=1,
logo o ponto (\sqrt{3},1) está na reta; a inclinação é positiva e pequena, compatível com 30^\circ. Na segunda reta, para x=\sqrt{3} obtém-se y=-1, que dá a reta inclinada para baixo formando igualmente 30^\circ com o eixo (em valor absoluto).

Resposta

y=\frac{\sqrt{3}}{3}\,x
y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\,x

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