—— Questão 24. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo principal é a integral de Gauss e sua transformada de Fourier, além do uso da simetria de funções pares para passar da reta inteira ao semieixo.
Passo 2
Definamos a função
Esta é a transformada de Fourier da gaussiana e vale, por resultado clássico,
Passo 3
Escrevendo
em parte real e imaginária:
Como
é função ímpar, sua integral sobre
é zero. Logo
Passo 4
O integrando
é par, então
Passo 5
Basta agora tomar
. Então