—— Questão 26. Mostre que
Conclua que
Use o resultado acima e expresse o valor da soma
como uma integral imprópria.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma representação integral da soma de potências inversas de inteiros usando a transformada de Laplace e, em seguida, expressar
como uma integral imprópria. Vamos usar o fato geral de que, para
e
,
onde
é a função Gamma.
Passo 2
Para
temos
, logo
Dividindo ambos os lados por
obtemos a fórmula desejada:
Passo 3
Somando em
de 1 a
e trocando soma por integral (justificado pela convergência absoluta),
Como
, segue
Passo 4
Para
temos
, então
Somando sobre
e repetindo o mesmo raciocínio de troca soma–integral,
Resposta
Como
, concluímos