—— Questão 26. Mostre que
\frac{1}{n^{3}}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-n x} d x
Conclua que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}-1} d x
Use o resultado acima e expresse o valor da soma \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}=\pi^{4} / 90 como uma integral imprópria.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma representação integral da soma de potências inversas de inteiros usando a transformada de Laplace e, em seguida, expressar \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{4}=\pi^{4}/90 como uma integral imprópria. Vamos usar o fato geral de que, para s>0 e n\ge1,
\int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-n x}\,dx \;=\;\frac{\Gamma(s)}{n^{s}},
onde \Gamma(s) é a função Gamma.

Passo 2

Para s=3 temos \Gamma(3)=2!\,=2, logo
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-n x}\,dx \;=\;\frac{2}{n^{3}}.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos a fórmula desejada:
\frac{1}{n^{3}} \;=\;\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-n x}\,dx.

Passo 3

Somando em n de 1 a \infty e trocando soma por integral (justificado pela convergência absoluta),
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-n x}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}x^{2}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n x}\,dx.
Como \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n x}=e^{-x}/(1-e^{-x})=1/(e^{x}-1), segue
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}-1}\,dx.

Passo 4

Para s=4 temos \Gamma(4)=3!\,=6, então
\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-n x}\,dx=\frac{6}{n^{4}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^{4}}=\frac{1}{6}\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-n x}\,dx.
Somando sobre n e repetindo o mesmo raciocínio de troca soma–integral,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} =\frac{1}{6}\int_{0}^{\infty}x^{3}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n x}\,dx =\frac{1}{6}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.

Resposta

Como \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{4}=\pi^{4}/90, concluímos
\frac{\pi^{4}}{90} =\frac{1}{6}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.

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