Questão 4: (24 pontos) Resolva os ítens:
(8 pontos) Encontre uma base e a dimensão para o subconjunto de M2(R) dado por
W=(cc a & b c & d ) ; d-b+c=0 e a=0

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subconjunto Wsubset M2(R) formado pelas matrizes
a & b c & d
que satisfazem as condições ;a=0 e d - b + c = 0. O conteúdo aqui é espaço vetorial de matrizes e subespaços definidos por relações lineares.

Passo 2

Aplicamos as condições para parametrizar um elemento genérico de W. Da primeira condição temos
a=0
Da segunda, escrevemos
d - b + c = 0 Longrightarrow d = b - c
Logo qualquer Xin W tem a forma
X= 0 & b c & b - c

Passo 3

Para expor X como combinação linear, tomamos b e c como parâmetros livres. Chamando b = x e c = y,
X = 0 & x y & x - y = x 0 & 1 0 & 1 + y 0 & 0 1 & -1
Os dois matrizes ao lado são linearmente independentes e geram W. Então elas formam uma base de W, e como há duas delas, concluímos que dim(W)=2.

Resposta

Uma base de W é
0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & -1
e dim(W)=2.

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