Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine uma base. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
W=a0+a1 x+a2 x^2 in P2(R) ; ai in Q, forall i=1,2,3;

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = ,a0 + a1x + a2x^2in P2(R) mid aiin Q para i=0,1,2
e pede para verificar se W é um subespaço vetorial de P2(R) sob as operações usuais de soma e multiplicação por escalar real. Lembrando que, para ser subespaço, W deve satisfazer três condições:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado em relação à soma;
  3. ser fechado em relação à multiplicação por escalar real.

Passo 2

Verificamos as duas primeiras condições:
– O polinômio zero é 0 + 0x + 0x^2, cujos coeficientes são todos 0inQ, logo 0in W.
– Se p(x)=a0+a1x+a2x^2 e q(x)=b0+b1x+b2x^2 estão em W, então
p(x)+q(x)=(a0+b0) + (a1+b1)x + (a2+b2)x^2,
e cada soma ai+bi é racional, pois soma de racionais é racional. Portanto p+qin W.

Passo 3

Agora testamos a multiplicação por escalar real. Seja p(x)=1in W (coeficiente racional) e escolha o escalar alpha=raiz2inR. Então
alpha,p(x)=raiz2cdot 1 = raiz2,
isto é, o novo polinômio tem coeficiente raiz2notinQ. Logo alpha,pnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar real.

Resposta

W não é subespaço vetorial real de P2(R), pois falha a condição de fechamento em multiplicação por escalar (por exemplo, raiz2cdot 1notin W).

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