Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine uma base. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
sob as operações usuais de soma e multiplicação por escalar real. Lembrando que, para ser subespaço,
deve satisfazer três condições:
- conter o vetor zero;
- ser fechado em relação à soma;
- ser fechado em relação à multiplicação por escalar real.
Passo 2
Verificamos as duas primeiras condições:
– O polinômio zero é , cujos coeficientes são todos
, logo
.
– Se e
estão em
, então
– O polinômio zero é
– Se
e cada soma
é racional, pois soma de racionais é racional. Portanto
.
Passo 3
Agora testamos a multiplicação por escalar real. Seja
(coeficiente racional) e escolha o escalar
. Então
isto é, o novo polinômio tem coeficiente
. Logo
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalar real.