Questão 2 Sejam W=(a, b, c, d) in R^4 ; d=a+b+c e U=(a, b, c, d) in R^4 ; d=a+b-c subspaços vetoriais de R^4 considerando as operações usuais. Determine:
(a) dim(U+W)
(b) Uma base para W cap U.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4 definidos por condições lineares:
W=(a,b,c,d)inR^4 mid d=a+b+c,
U=(a,b,c,d)inR^4 mid d=a+b-c
Pede-se a) a dimensão de U+W e b) uma base para Ucap W. Usaremos a teoria de dimensão de soma de subespaços e resolveremos o sistema de duas equações para achar a interseção.

Passo 2

Cada um desses subespaços é um hiperplano em R^4 dado por uma equação linear não degenerada, logo
dim W = 3, dim U = 3
Para achar a interseção Ucap W, impomos simultaneamente
d=a+b+c, d=a+b-c

Passo 3

Igualando as duas expressões de d vem
a+b+c = a+b-c Longrightarrow 2c=0 Longrightarrow c=0
Substituindo em d=a+b+c obtemos
d = a + b + 0 = a+b
Logo todo vetor em Ucap W tem coordenadas
(a,b,0,a+b)

Passo 4

Parametrizamos por a e b:
(a,b,0,a+b) = a,(1,0,0,1) ;+; b,(0,1,0,1)
Assim uma base de Ucap W é
(1,0,0,1),;(0,1,0,1),
e segue que
dim(Ucap W)=2

Passo 5

Pela fórmula da dimensão da soma de subespaços,
dim(U+W) = dim U + dim W - dim(Ucap W) = 3 + 3 - 2 = 4

Resposta

(a) 4
(b) Uma base de Ucap W é (1,0,0,1),,(0,1,0,1).

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