Questão 3 - Quando exposta ao ar, uma sonda de temperatura pode ser analisada como uma aleta. Calcule a temperatura registrada pela sonda de 20 mm de comprimento, 3 mm de diâmetro e k=19 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, quando exposta a um ambiente que está à 50^{\circ} \mathrm{C} e h=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. A temperatura da superfície de base é de 60^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura registrada pela sonda (interpretação: a temperatura no extremo livre da aleta, ou seja, na ponta):
comprimento da sonda: L=20\\ \text{mm} = 0{,}02\\ \text{m}
diâmetro da sonda: d=3\\ \text{mm} = 0{,}003\\ \text{m}
coeficiente de convecção com o ar: h=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}
temperatura do ambiente: T_\infty=50^\circ\mathrm{C}
temperatura da base (superfície ligada ao corpo quente): T_b=60^\circ\mathrm{C}
Pergunta a responder: qual é a temperatura na ponta da sonda T(L) (a temperatura que a sonda registrará)?
Passo 2
Modelo físico e variáveis usadas (explicação didática):\n
Vamos modelar a sonda como uma aleta cilíndrica de seção uniforme. A temperatura ao longo da aleta, em regime permanente e assumindo variação só na direção axial x (1D), é dada por \theta(x)=T(x)-T_\infty, a diferença entre a temperatura em x e a do ambiente.\n
A equação diferencial da aleta de seção constante, com perdas por convecção na lateral, é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde m é um parâmetro que reúne propriedades geométricas e térmicas; ele é definido por
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
Aqui:
P é o perímetro da seção (para um cilindro de diâmetro d: P=\pi d),
A_c é a área da seção transversal (para um cilindro: A_c=\pi d^2/4).\n
Vou calcular P e A_c para o nosso caso.
Passo 3
Cálculo do perímetro e da área de seção transversal e do parâmetro m:\n
na base, x=0, a temperatura é conhecida: T(0)=T_b. Em termos de \theta: \theta(0)=T_b-T_\infty=\theta_b, onde \theta_b=10^\circ\mathrm{C} (porque 60-50=10). Isso dá C_1=\theta_b.
no extremo livre x=L há convecção com o ar; a condição de fluxo é
Aplicando essas duas condições e fazendo as manipulações algébricas (procedimento padrão em livros de transferência de calor) obtém-se a forma conveniente da solução deslocada em relação à ponta. Uma forma prática usada em provas e tabelas é escrever a solução de modo que a temperatura na posição x seja
Explicando os termos: \theta_b=T_b-T_\infty é o desvio na base, m já calculado; o fator \dfrac{h}{mk} vem da condição de convecção no bordo e tem dimensão adimensional.\n
Em particular, para a ponta x=L a fórmula simplifica bastante, porque L-x=0 e \operatorname{cosh}(0)=1, \operatorname{sinh}(0)=0. Assim