Questão 3 - Quando exposta ao ar, uma sonda de temperatura pode ser analisada como uma aleta. Calcule a temperatura registrada pela sonda de 20 mm de comprimento, 3 mm de diâmetro e k=19 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, quando exposta a um ambiente que está à 50^{\circ} \mathrm{C} e h=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. A temperatura da superfície de base é de 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura registrada pela sonda (interpretação: a temperatura no extremo livre da aleta, ou seja, na ponta):
  • comprimento da sonda: L=20\\ \text{mm} = 0{,}02\\ \text{m}
  • diâmetro da sonda: d=3\\ \text{mm} = 0{,}003\\ \text{m}
  • condutividade térmica: k=19\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}
  • coeficiente de convecção com o ar: h=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}
  • temperatura do ambiente: T_\infty=50^\circ\mathrm{C}
  • temperatura da base (superfície ligada ao corpo quente): T_b=60^\circ\mathrm{C}
Pergunta a responder: qual é a temperatura na ponta da sonda T(L) (a temperatura que a sonda registrará)?

Passo 2

Modelo físico e variáveis usadas (explicação didática):\n
  • Vamos modelar a sonda como uma aleta cilíndrica de seção uniforme. A temperatura ao longo da aleta, em regime permanente e assumindo variação só na direção axial x (1D), é dada por \theta(x)=T(x)-T_\infty, a diferença entre a temperatura em x e a do ambiente.\n
  • A equação diferencial da aleta de seção constante, com perdas por convecção na lateral, é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde m é um parâmetro que reúne propriedades geométricas e térmicas; ele é definido por
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
Aqui:
  • P é o perímetro da seção (para um cilindro de diâmetro d: P=\pi d),
  • A_c é a área da seção transversal (para um cilindro: A_c=\pi d^2/4).\n
    Vou calcular P e A_c para o nosso caso.

Passo 3

Cálculo do perímetro e da área de seção transversal e do parâmetro m:\n
  • Perímetro:
P=\pi d=\pi\cdot 0{,}003\\ \text{m}.
  • Área da seção:
A_c=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot (0{,}003)^2}{4}\\ \text{m}^2.
Observação prática: ao dividir P por A_c para obter m^2 simplifica-se bastante, pois
\frac{P}{A_c}=\frac{\pi d}{\pi d^2/4}=\frac{4}{d}.
Logo
m^2=\frac{hP}{kA_c}=\frac{h}{k}\cdot\frac{P}{A_c}=\frac{h}{k}\cdot\frac{4}{d}=\frac{4h}{kd}.
Agora calculamos numericamente:
m=\sqrt{\frac{4h}{kd}}=\sqrt{\frac{4\cdot 50}{19\cdot 0{,}003}}.
Calcule passo a passo:
4h=200,
kd=19\times 0{,}003=0{,}057,
\frac{4h}{kd}=\frac{200}{0{,}057}\approx 3508{,}7719,
m\approx \sqrt{3508{,}7719}\approx 59{,}25\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 4

Solução geral e condições de contorno (explicação didática das condições):\n
  • A solução geral da equação \dfrac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0 é combinação de hiperbólicas:
\theta(x)=C_1\operatorname{cosh}(mx)+C_2\operatorname{sinh}(mx).
  • Condições de contorno físicas:
    1. na base, x=0, a temperatura é conhecida: T(0)=T_b. Em termos de \theta: \theta(0)=T_b-T_\infty=\theta_b, onde \theta_b=10^\circ\mathrm{C} (porque 60-50=10). Isso dá C_1=\theta_b.
    2. no extremo livre x=L há convecção com o ar; a condição de fluxo é
-kA_c\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=hP\,\theta(L).
  • Aplicando essas duas condições e fazendo as manipulações algébricas (procedimento padrão em livros de transferência de calor) obtém-se a forma conveniente da solução deslocada em relação à ponta. Uma forma prática usada em provas e tabelas é escrever a solução de modo que a temperatura na posição x seja
\theta(x)=\theta_b\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Explicando os termos: \theta_b=T_b-T_\infty é o desvio na base, m já calculado; o fator \dfrac{h}{mk} vem da condição de convecção no bordo e tem dimensão adimensional.\n
  • Em particular, para a ponta x=L a fórmula simplifica bastante, porque L-x=0 e \operatorname{cosh}(0)=1, \operatorname{sinh}(0)=0. Assim
\theta(L)=\theta_b\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Portanto a temperatura na ponta é
T(L)=T_\infty+\theta(L)=T_\infty+\theta_b\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.

Passo 5

Cálculo numérico final passo a passo:\n
Primeiro calculemos os componentes para mL e para \dfrac{h}{mk}:
mL\approx 59{,}25\times 0{,}02\approx 1{,}185.
\frac{h}{mk}=\frac{50}{59{,}25\times 19}\approx \frac{50}{1125{,}75}\approx 0{,}04444.
Agora calculemos as funções hiperbólicas (valores aproximados):
\operatorname{cosh}(mL)=\operatorname{cosh}(1{,}185)\approx 1{,}7888,
\operatorname{sinh}(mL)=\operatorname{sinh}(1{,}185)\approx 1{,}4832.
Formando o denominador:
\operatorname{cosh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}7888+0{,}04444\times 1{,}4832\approx 1{,}7888+0{,}0659\approx 1{,}8547.
A diferença de temperatura na base é \theta_b=T_b-T_\infty=60-50=10^\circ\mathrm{C}. Então a diferença na ponta é
\theta(L)=\frac{\theta_b}{1{,}8547}\approx \frac{10}{1{,}8547}\approx 5{,}392^\circ\mathrm{C}.
Finalmente, a temperatura na ponta:
T(L)=T_\infty+\theta(L)\approx 50+5{,}392\approx 55{,}392^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma sensata para duas casas decimais (consistência com dados): T(L)\approx 55{,}39^\circ\mathrm{C}.

Resposta

55{,}39^\circ\mathrm{C}

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