Questão 24 Se X \subset \mathbb{R} é um conjunto enumerável, mostre que
X_{2}={x-y ; x, y \in X} \text { é enumerável. }éá

Passo 1

O enunciado dá que X\subset\mathbb{R} é um conjunto enumerável e pede para mostrar que
X_{2}=\{x-y \;:\; x,y\in X\}
é enumerável.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • X é enumerável (isto é, X é finito ou tem o mesmo tamanho que \mathbb{N}).
  • A definição do conjunto pedido é X_{2}=\{x-y : x,y\in X\}.
O que se quer provar (pergunta do enunciado):
  • Mostrar que o conjunto X_{2} é enumerável.

Passo 2

Primeiro caso simples: se X for finito então X_{2} também é finito (pois é imagem de X\times X por uma operação), e todo conjunto finito é enumerável. Logo neste caso está provado. A parte interessante é quando X é infinito enumerável (contável infinito). A partir daqui assumo que X é enumerável infinito: existe uma enumeração
X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\dots\}.
Vou trabalhar a partir dessa enumeração.

Passo 3

Idéia principal (sem pular passos): representar X_{2} como imagem do produto \mathbb{N}\times\mathbb{N} através da aplicação que manda o par (i,j) para x_{i}-x_{j}. Mais precisamente, definir a função
f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{R},\qquad f(i,j)=x_{i}-x_{j}.
Observação: X_{2} é exatamente a imagem f(\mathbb{N}\times\mathbb{N}), porque todo elemento x-y com x,y\in X aparece como x_{i}-x_{j} para algum i,j.
Portanto, basta mostrar que \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável e que a imagem de um conjunto enumerável por uma função é enumerável. Vou provar essas duas coisas passo a passo.

Passo 4

Provar que \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável (diagonalização explícita).
Construção explícita de uma enumeração (diagonal):
uma maneira clássica é listar os pares (i,j) na ordem
(1,1),\\ (1,2),(2,1),\\ (1,3),(2,2),(3,1),\\ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),\dots
ou seja, primeiro os pares cuja soma i+j é 2, depois soma 3, depois 4, e assim por diante, e dentro de cada soma ordenar por i crescente (ou outra ordem fixa). Essa lista contém todo par (i,j) exatamente uma vez, portanto define uma bijeção entre \mathbb{N} e \mathbb{N}\times\mathbb{N} (ou, mais fraco, uma enumeração surjetiva \mathbb{N}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}). Conclusão: \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável.
Comentário didático curto sobre por que isso funciona: todo par (i,j) tem soma i+j finita; na enumeração cada soma aparece em algum estágio, então o par aparece. Não há repetição porque cada par tem posição marcada pela sua soma e por sua ordem interna.

Passo 5

Provar que imagem de conjunto enumerável por função é enumerável.
Seja A enumerável e g:A\to B qualquer função. Há dois subcasos:
  • Se A é finito então g(A) é finito, logo enumerável.
  • Se A é enumerável infinito, então existe uma enumeração A=\{a_{1},a_{2},a_{3},\dots\}. Considere a sequência (b_{n}) definida por b_{n}=g(a_{n}). A sequência (b_{n}) contém todos os elementos de g(A), possivelmente com repetições. Para obter uma enumeração sem repetições de g(A) basta percorrer (b_{n}) e tomar, na ordem, apenas as primeiras ocorrências de cada novo valor (algoritmo de “remover duplicatas mantendo a ordem”). Formalmente, define-se a subsequência dos índices n tais que b_{n} ainda não apareceu antes; essa subsequência é infinita se g(A) for infinito, ou termina se g(A) for finito. Assim obtém-se uma enumeração de g(A). Conclusão: g(A) é enumerável.
Explicação intuitiva: a imagem não pode ser “maior” que o domínio em cardinalidade; enumerar o domínio e aplicar g dá uma lista da imagem com possíveis repetições, e eliminar repetições deixa uma enumeração válida.

Passo 6

Aplicar os fatos ao problema: já temos
  • \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável (Passo 4).
  • A função f(i,j)=x_{i}-x_{j} mapeia \mathbb{N}\times\mathbb{N} sobre X_{2} (Passo 3), isto é X_{2}=f(\mathbb{N}\times\mathbb{N}).
  • Pela propriedade do Passo 5, a imagem de um conjunto enumerável por uma função é enumerável.
Portanto X_{2} é enumerável.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar a ideia: se X=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} então X_{2}=\{m-n : m,n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z}, e sabemos que \mathbb{Z} é enumerável — isso é compatível com a prova geral (a função (m,n)\mapsto m-n envia \mathbb{N}\times\mathbb{N} sobre \mathbb{Z}).

Resposta

X_{2} é enumerável.

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