Questão 26. Calcule a integral tripla usando coordenadas cartesianas.
\iiint_{E} x^{2} d V, em que E é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0) e (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x^{2}\,dV
onde E é o tetraedro sólido no primeiro octante cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas, e precisaremos descre­ver E como um conjunto de inequações para montar um integral iterado.

Passo 2

O tetraedro E é a região
E = \{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x+y+z\le1\}.
Para cada x entre 0 e 1, temos y variando de 0 a 1-x, e para cada (x,y) fixo, z varia de 0 a 1-x-y.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada em ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{E} x^{2}\,dV = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1-x}\!\int_{z=0}^{1-x-y} x^{2}\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em z:
\int_{0}^{1-x-y} x^{2}\,dz = x^{2}\bigl[z\bigr]_{0}^{1-x-y} = x^{2}(1 - x - y).
Então a integral torna-se
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-x} x^{2}(1 - x - y)\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos em y:
\int_{0}^{1-x} x^{2}(1 - x - y)\,dy = x^{2}\Bigl[(1 - x)y - \tfrac{1}{2}y^{2}\Bigr]_{0}^{1-x} = x^{2}\Bigl((1-x)^{2} - \tfrac12(1-x)^{2}\Bigr) = \tfrac12\,x^{2}(1-x)^{2}.
Logo ficamos com
\tfrac12 \int_{0}^{1} x^{2}(1 - x)^{2}\,dx.

Passo 6

Avalia­mos
\int_{0}^{1} x^{2}(1 - x)^{2}\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(x^{2} - 2x^{3} + x^{4}\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3} - \tfrac{2x^{4}}{4} + \tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{30}.
Multiplicando por \tfrac12 obtemos
\tfrac12 \cdot \tfrac{1}{30} = \tfrac{1}{60}.

Resposta

\iiint_{E} x^{2}\,dV = \tfrac{1}{60}.

Exercícios relacionados