Questão 25
Um balão volumétrico de 100,00 \mathrm{~mL} foi calibrado para 20^{\circ} \mathrm{C}. Você encheu o balão com água a 30,0^{\circ} \mathrm{C}, depois deixou esfriar até 20,0^{\circ} \mathrm{C} e anotou que a massa da água é 99,82 \mathrm{~g} (desprezando o peso do balão). Sabendo que a densidade da água a 20,0^{\circ} \mathrm{C} é 0,9982 \mathrm{~g} / \mathrm{mL} e a densidade da água a 30,0^{\circ} \mathrm{C} é 0,9957 \mathrm{~g} / mL , determine:
a) O volume real que a água ocupava a 30,0^{\circ} \mathrm{C} no momento do enchimento (assumindo que a massa permaneceu constante).
b) Qual o erro percentual relativo em volume se considerarmos que o balão " 100,00 \mathrm{~mL} " foi usado sem correção de temperatura?
c) Discuta como a temperatura de calibração da vidraria e a densidade da água influenciam o resultado experimental.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Volume calibrado do balão: 100{,}00\\ \mathrm{mL} (calibrado para 20{,}0^\circ\mathrm{C}).
  • Massa de água registrada depois de esfriar a 20{,}0^\circ\mathrm{C}: 99{,}82\\ \mathrm{g}.
  • Densidade da água a 20{,}0^\circ\mathrm{C}: \rho_{20}=0{,}9982\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}.
  • Densidade da água a 30{,}0^\circ\mathrm{C}: \rho_{30}=0{,}9957\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}.
Perguntas:
(a) Determinar o volume real que a água ocupava a 30{,}0^\circ\mathrm{C} no momento do enchimento (assumindo massa constante).
(b) Calcular o erro percentual relativo em volume se considerarmos que usamos o balão como 100{,}00\\ \mathrm{mL} sem correção de temperatura.
(c) Discutir como a temperatura de calibração da vidraria e a densidade da água influenciam o resultado experimental.

Passo 2

Conceito fundamental e fórmula que vamos usar: a relação entre massa, densidade e volume. Sempre que temos uma porção homogênea de substância,
m=\rho\cdot V,
onde:
  • m é a massa (em \mathrm{g}),
  • \rho é a densidade (em \mathrm{g\;mL^{-1}}),
  • V é o volume (em \mathrm{mL}).
Da equação acima isolamos o volume:
V=\frac{m}{\rho}.
Explicação didática: massa é quanto “material” temos; densidade diz quanta massa cabe numa unidade de volume; então volume = massa dividida pela massa por unidade de volume. Essa fórmula é válida desde que a massa não mude entre as temperaturas (o enunciado pede para assumir massa constante).

Passo 3

Aplicamos a fórmula para obter o volume que a massa m=99{,}82\\ \mathrm{g} ocupava à temperatura de enchimento 30{,}0^\circ\mathrm{C}, usando \rho_{30}=0{,}9957\\ \mathrm{g\;mL^{-1}}.
V_{30}=\frac{m}{\rho_{30}}=\frac{99{,}82}{0{,}9957}\\ \mathrm{mL}.
Agora a divisão passo a passo (método sem calculadora intuitivo): note que 0{,}9957 é ligeiramente menor que 1, então o resultado ficará ligeiramente maior que 99{,}82. Calculando com mais precisão:
\frac{1}{0{,}9957}\approx 1{,}004317\quad\Rightarrow\quad V_{30}\approx 99{,}82\times 1{,}004317 \approx 100{,}25\\ \mathrm{mL}.
Arredondamento e algarismos significativos: dados têm tipicamente quatro algarismos significativos (por exemplo 99{,}82 tem 4), então podemos apresentar V_{30}\approx 100{,}25\\ \mathrm{mL} (ou, se preferir 4 alg. signif., 100{,}3\\ \mathrm{mL}). Vou usar 100{,}25\\ \mathrm{mL} como valor calculado.

Passo 4

Cálculo do erro percentual relativo em volume quando se assume que o balão é exatamente 100{,}00\\ \mathrm{mL} (sem correção de temperatura).
Definição do erro percentual relativo (tomando como referência o volume real): se V_{\text{assumido}} é o volume que se assume e V_{\text{real}} é o volume verdadeiro, o erro relativo percentual é
\text{Erro (\%)}=\frac{V_{\text{assumido}}-V_{\text{real}}}{V_{\text{real}}}\times 100\%.
Aqui V_{\text{assumido}}=100{,}00\\ \mathrm{mL} e V_{\text{real}}=100{,}25\\ \mathrm{mL}. Então
\text{Erro (\%)}=\frac{100{,}00-100{,}25}{100{,}25}\times 100\%=\frac{-0{,}25}{100{,}25}\times 100\%\approx -0{,}249\%\approx -0{,}25\%.
Interpretação: o sinal negativo indica que, ao usar o valor 100{,}00\\ \mathrm{mL}, subestimamos o volume real entregue em cerca de 0{,}25\%. Em termos de magnitude, o erro relativo é 0{,}25\%.

Passo 5

Discussão didática e prática sobre influência da temperatura de calibração e da densidade da água:
  • Por que ocorreu o erro? O balão foi calibrado para marcar 100{,}00\\ \mathrm{mL} quando a temperatura do sistema (vidraria e líquido) é 20{,}0^\circ\mathrm{C}. Ao encher o balão com água a 30{,}0^\circ\mathrm{C}, a água estava menos densa ( \rho_{30}=0{,}9957 vs \rho_{20}=0{,}9982), portanto, para uma mesma massa a água ocupou um volume maior a 30{,}0^\circ\mathrm{C} do que a que ocuparia a 20{,}0^\circ\mathrm{C}. Assim, ao encher na temperatura errada obtemos volume real diferente do marcado.
  • Papel da densidade: a densidade da água muda com a temperatura; pequenas variações de densidade (aqui a diferença relativa entre 0{,}9957 e 0{,}9982) causam diferenças percentuais de volume da ordem de décimos de por cento — suficiente para trabalhos analíticos precisos.
  • Papel da vidraria (expansão térmica do vidro): a vidraria também se expande/contrai com temperatura, mudando ligeiramente o volume marcado. Contudo, o coeficiente de expansão térmica do vidro (por exemplo vidro borossilicato) é da ordem de 10^{-6} a 10^{-5}\\ \mathrm{^\circ C^{-1}}, logo para uma diferença de 10^\circ\mathrm{C} o efeito do vidro é tipicamente muito menor (vários centésimos a milésimos de por cento) que a variação de densidade da água (aqui cerca de 0{,}25\%). Portanto, na maioria das situações o efeito dominante é a mudança da densidade do líquido.
  • Consequências práticas e como evitar/corrigir o erro:
    • O procedimento correto para medir volumes com precisão é acondicionar a vidraria e o líquido à temperatura de calibração (aqui 20{,}0^\circ\mathrm{C}) antes de ajustar o volume ao traço.
    • Se não for possível, corrigir numericamente usando as densidades: conhecer \rho em ambas as temperaturas permite converter massa em volume ou aplicar fator de correção \frac{\rho_{\text{calibração}}}{\rho_{\text{enchimento}}}çã.
    • Lembrar que o erro encontrado é sistemático (sempre na mesma direção) e deve ser levado em conta em análises quantitativas.
  • Resumo numérico: neste problema a diferença de temperatura 10{,}0^\circ\mathrm{C} causou um erro na ordem de 0{,}25\% no volume — pequeno, mas relevante em trabalhos onde se exigem acurácias de 0,1% ou melhores.

Resposta

(a) V_{30}\approx 100{,}25\\ \mathrm{mL}\n
(b) -0{,}249\% (ou seja, subestimação de aproximadamente 0{,}25\%)\n
(c) A temperatura de calibração define o volume marcado; preencher a vidraria a temperatura diferente muda a densidade da água e, portanto, o volume real. A variação de densidade da água entre 20{,}0^\circ\mathrm{C} e 30{,}0^\circ\mathrm{C} causa o erro principal (aqui ≈ 0{,}25\%); a expansão do vidro é geralmente muito menor, mas também pode ser considerada em medições muito precisas.

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