Considere o seguinte mecanismo:
Sendo os parametros de tempo de meia vida de decaimento térmico (
) e constante de equilíbrio
:
E as seguintes condições iniciais:
(a) Quais os valores de constante de velocidade das etapas elementares?
(b) Encontre analiticamente a concentração de A e B em função do tempo.
(c) Qual é a razão entre as concentrações de B e A após 1 hora?
(b) Encontre analiticamente a concentração de A e B em função do tempo.
(c) Qual é a razão entre as concentrações de B e A após 1 hora?
Passo 1
O enunciado dá um mecanismo elementar reversível de duas espécies:
As informações numéricas e condições iniciais fornecidas são:
As perguntas são:
(a) determinar as constantes de velocidade elementares e
;
(b) obter analiticamente e
para
;
(c) calcular a razão após
hora.
(a) determinar as constantes de velocidade elementares
(b) obter analiticamente
(c) calcular a razão
Passo 2
Entendendo as relações entre as grandezas dadas (sem resolver ainda):
- Para o equilíbrio cinético elementar de primeira ordem vale
Isso significa que
.
- O enunciado fornece um tempo de meia-vida
. Para um sistema A B com cinética de primeira ordem, a aproximação exponencial para a aproximação ao equilíbrio tem um decaimento governado por . O tempo de meia-vida para a aproximação exponencial (i.e., reduzir-se à metade) satisfaz
Portanto
Vou usar essas duas relações para encontrar
e
.
Passo 3
Calculemos a soma dos coeficientes de velocidade usando
:
Como
e
, temos
Logo
E então
Passo 4
Apresentando os valores numéricos (aproximações):
(Arredondei aqui para sete casas decimais; é suficiente para a prova.)
Passo 5
Agora vamos obter
e
analiticamente com derivação passo a passo. Escrevemos as equações cinéticas (primeira ordem):
Observação útil: a massa total é conservada porque só há interconversão A↔B, então
Usamos essa conservação para eliminar
:
Substituindo na equação de
:
Esta é uma EDO linear de primeira ordem do tipo
A solução padrão é soma da solução homogênea e de uma particular constante.
Passo 6
Solução homogênea (resolvendo
):
onde
é constante determinada pela condição inicial. A solução particular é a solução constante
que satisfaz
Alternativamente, usando
e conservação total
, podemos escrever
Logo a solução completa é
Como
e
, obtemos
Passo 7
Usando a conservação, ou diretamente pela forma análoga, para
:
Com
e
isso dá
Resumo simbólico (útil na prova):
Também podemos escrever com
se preferir.
Passo 8
Vamos calcular a razão
após
hora, isto é
. Defina
A razão é
Para
e
temos o expoente
Portanto
que é um número absurdamente pequeno (aproximadamente
— ou seja, essencialmente zero para qualquer cálculo prático). Assim
Se quiser, a forma exata é
, mas numericamente é indistinguível de
.
Resposta
(a)
(b) com
(c)
(b)
(c)