Questão 25: O bloqueio de escoamento causado pela introdução de uma sonda intrusiva pode ser significativo. Determine o aumento percentual na velocidade da seção correspondente a uma redução de 0,5 \% na área de escoamento devido ao bloqueio por sonda para escoamento de ar, considerando:
  • Área da seção: 1.0 \mathrm{~m}^{2}
  • Temperatura de estagnação: T_{0}=20{ }^{\circ} \mathrm{C}
  • Números de Mach (sem bloqueio):
M a=1,5

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o aumento percentual (ou mudança percentual) da velocidade em uma seção quando a área dessa seção é reduzida em 0{,}5\% devido ao bloqueio por uma sonda, para escoamento de ar. Dados relevantes fornecidos:
  • Área inicial da seção: A_{1}=1{,}0\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Redução de área: 0{,}5\%, portanto A_{2}=A_{1}\cdot(1-0{,}005)=0{,}995\,A_{1}.
  • Temperatura de estagnação: T_{0}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Mach inicial (sem bloqueio): M_{1}=1{,}5.
    Informações físicas que vamos usar (valores para o ar):
  • Relações isotérmicas/isentropas e conservação de massa aplicáveis a escoamento compressível isentrópico.
  • Constantes: razão dos calores \gamma=1{,}4 e constante dos gases R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito e estrategia (explicando a física e a fórmula que vamos usar).
Quando assumimos escoamento isentrópico (sem perdas significativas entre as seções) e condições de estagnação constantes, o fluxo mássico por unidade de área depende apenas de M e de T_{0} e p_{0}. A conservação da massa entre duas seções (mesmo escoamento, mesma linha) dá:
\dot m = \rho u A = \text{constante}
A formula padrão para fluxo mássico por unidade de área em escoamento isentrópico é
\frac{\dot m}{A} = \frac{p_{0}}{\sqrt{T_{0}}}\sqrt{\frac{\gamma}{R}}\; \Phi(M)
onde
\Phi(M)=M\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}\right)^{-\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}.
Como p_{0}, T_{0}, \gamma e R são constantes entre as seções comparadas, a condição \dot m constante implica
A_{1}\,\Phi(M_{1})=A_{2}\,\Phi(M_{2}).
Nossa estratégia: calcular \Phi(M_{1}), conhecer A_{2}=0{,}995A_{1}, obter \Phi(M_{2}) e a partir daí achar M_{2}. Depois calcular as velocidades locais u_{1} e u_{2} por
u = M\;a = M\sqrt{\gamma R T},
com a temperatura local T dada por
T=\frac{T_{0}}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^{2}}.
Por fim, computamos a variação percentual \dfrac{u_{2}-u_{1}}{u_{1}}\times 100\%.

Passo 3

Calcule \Phi(M_{1}) para M_{1}=1{,}5.
Primeiro o fator dentro do parêntese:
1+\frac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}=1+\frac{1{,}4-1}{2}\cdot(1{,}5)^{2}=1+0{,}2\cdot 2{,}25=1{,}45.
O expoente é
-\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}=-\frac{1{,}4+1}{2(1{,}4-1)}=-\frac{2{,}4}{0{,}8}=-3.
Portanto
\Phi(M_{1})=1{,}5\cdot (1{,}45)^{-3}.
Calculando numericamente:
(1{,}45)^{3}=3{,}048625\quad\Rightarrow\quad (1{,}45)^{-3}=0{,}3280\\ (\text{aprox.})
\Phi(M_{1})\approx 1{,}5\cdot 0{,}3280=0{,}4920\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Use a conservação da massa para obter \Phi(M_{2}).
A_{1}\Phi(M_{1})=A_{2}\Phi(M_{2}) \quad\Rightarrow\quad \Phi(M_{2})=\frac{A_{1}}{A_{2}}\Phi(M_{1}).
Como A_{2}=0{,}995A_{1},
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{1}{0{,}995}\approx1{,}005025.
Logo
\Phi(M_{2})\approx 1{,}005025\cdot 0{,}4920 \approx 0{,}49446.

Passo 5

Achar M_{2} tal que \Phi(M_{2})\approx 0{,}49446.
Aqui precisamos resolver numericamente a equação
\Phi(M)=M\left(1+0{,}2M^{2}\right)^{-3}=0{,}49446.
Explicando a escolha do ramo: inicialmente M_{1}=1{,}5>1 (supersônico). Para escoamento supersônico a função \Phi(M) decresce quando M aumenta (verificação prática: \Phi(1{,}4)\approx0{,}5196, \Phi(1{,}5)\approx0{,}4920, \Phi(1{,}6)\approx0{,}4626). Nosso \Phi(M_{2}) é ligeiramente maior que \Phi(M_{1}), portanto M_{2} deve ser ligeiramente menor que 1{,}5 (ou seja, o escoamento desacelera um pouco quando a área diminui no ramo supersônico).
Fazendo uma solução numérica rápida por tentativa/ interpolação (detalhei os valores testados):
  • \Phi(1{,}5)=0{,}4920.
  • \Phi(1{,}492)\approx0{,}4947.
  • \Phi(1{,}493)\approx0{,}4941.
    Interpolando entre esses valores, obtemos aproximadamente
M_{2}\approx 1{,}4924.

Passo 6

Calcule as velocidades u_{1} e u_{2} a partir dos respectivos M e de T_{0}.
Fórmula prática (substituindo T):
u = M\sqrt{\frac{\gamma R T_{0}}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^{2}}}.
Calcule o fator \sqrt{\gamma R T_{0}}:
\gamma R T_{0}=1{,}4\cdot 287\cdot 293{,}15\approx117787{,}7\quad\Rightarrow\quad \sqrt{\gamma R T_{0}}\approx343{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Agora para M_{1}=1{,}5:
1+\frac{\gamma-1}{2}M_{1}^{2}=1{,}45,\quad \sqrt{1{,}45}=1{,}204159.
u_{1}=1{,}5\cdot\frac{343{,}25}{1{,}204159}\approx427{,}54\\ \mathrm{m/s}.
Para M_{2}=1{,}4924:
1+\frac{\gamma-1}{2}M_{2}^{2}\approx 1{,}445454,\quad \sqrt{1{,}445454}\approx1{,}20227,
u_{2}=1{,}4924\cdot\frac{343{,}25}{1{,}20227}\approx426{,}09\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcule a variação percentual da velocidade:
\Delta \% = \frac{u_{2}-u_{1}}{u_{1}}\times 100\%.
Numérico:
\Delta \% = \frac{426{,}09-427{,}54}{427{,}54}\times 100\%\approx -0{,}3409\%\\ (\text{aprox.}).
Interpretação física curta (pra te animar): como o escoamento inicial é supersônico ( M>1), a pequena redução de área faz com que o fluxo desacelere ligeiramente, logo a velocidade local diminui — portanto o “aumento percentual” é na verdade negativo (uma redução de cerca de 0{,}34\%). Isso é consistente com as leis do escoamento isentrópico em regime supersônico.

Resposta

-0{,}34\% (aprox.; ou seja, a velocidade diminui cerca de 0{,}34\%).

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