Questão 25: O bloqueio de escoamento causado pela introdução de uma sonda intrusiva pode ser significativo. Determine o aumento percentual na velocidade da seção correspondente a uma redução de 0,5 \% na área de escoamento devido ao bloqueio por sonda para escoamento de ar, considerando:
Área da seção: 1.0 \mathrm{~m}^{2}
Temperatura de estagnação: T_{0}=20{ }^{\circ} \mathrm{C}
Números de Mach (sem bloqueio):
M a=3,0
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o aumento percentual (ou mudança percentual) da velocidade numa seção quando a área de escoamento é reduzida em 0{,}5\% devido ao bloqueio de uma sonda, para escoamento de ar com as seguintes informações:
Área da seção inicial: 1{,}0\\ \mathrm{m}^2 (a área numérica só serve para referência; a redução é percentural).
Temperatura de estagnação: T_0 = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Número de Mach inicial (sem bloqueio): M_1 = 3{,}0.
A pergunta é: qual é a variação percentual na velocidade local da seção quando a área é reduzida em 0{,}5\%?
Passo 2
Vamos assumir condições típicas de prova/questão: escoamento isentrópico (adiabático e reversível) e regime estacionário, de modo que a vazão mássica através da seção se conserva. Isso faz sentido porque a sonda apenas reduz a área localmente sem alterar instantaneamente as condições de estagnação do escoamento a montante (o enunciado fornece T_0 e M inicial), e é a hipótese padrão para avaliar pequenos bloqueios.
A ideia física: para escoamento compressível isentrópico e um dado par de condições de estagnação, a vazão mássica por unidade de área é função apenas do Mach local. Então, se a área cai, o Mach local ajusta-se para manter a conservação da massa, e com isso a velocidade local muda. Nosso objetivo é relacionar a pequena variação relativa da área \Delta A/A à variação relativa da velocidade \Delta u/u.
Passo 3
Escrevendo a expressão conveniente para a vazão mássica por unidade de área (para ar perfeito, \gamma=1{,}4): existe uma função conhecida F(M) tal que, para um fluxo isentrópico com mesmas condições de estagnação,
\frac{\dot m}{A} \propto F(M),
onde (padrão da teoria de escoamentos isentrópicos)
Observe o sinal: \Delta M<0 — para M>1 (supersônico) uma redução de área provoca uma diminuição do Mach local (o escoamento se desacelera localmente), que é comportamento consistente com a teoria de diferenciação de área para escoamentos compressíveis.
Passo 6
Agora relaciono a variação de M à variação relativa da velocidade u. A velocidade local é
u=M a,\qquad a=\sqrt{\gamma R T},
e a temperatura está relacionada à temperatura de estagnação por