Questão 25. Calcule o ângulo entre os vetores \vec{u}=(2,-1,-1) e \vec{v}=(-1,-1,2).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede o ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
  • \vec{u}=(2,-1,-1).
  • \vec{v}=(-1,-1,2).
A pergunta é: qual é o ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}? Vou explicar passo a passo as fórmulas que uso e cada conta, bem devagarinho — como se estivéssemos resolvendo juntos na prova.

Passo 2

Definição e ideia principal (sem jargon): para dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 o produto escalar (também chamado de dot product) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
onde u_i e v_i são as componentes dos vetores. Esse produto escalar relaciona-se com o ângulo \theta entre os vetores pela fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u} e \|\vec{v}\| é a norma de \vec{v}. Portanto, primeiro vou calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Substituindo as componentes:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 2.
Agora faço as contas uma a uma:
2\cdot(-1)=-2,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,\qquad (-1)\cdot 2=-2.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=-2+1-2=-3.

Passo 4

Explicar e calcular as normas ( \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|). A norma de um vetor \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é dada por
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}+w_3^{2}}.
Aplicando a \vec{u}=(2,-1,-1):
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Aplicando a \vec{v}=(-1,-1,2):
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Observação prática: aqui os dois vetores têm a mesma norma \sqrt{6}, o que simplifica contas.

Passo 5

Usar a relação entre produto escalar e ângulo para achar \cos\theta. A fórmula isolando \cos\theta é
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Substituindo os valores que já calculei:
\cos\theta=\frac{-3}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{-3}{6}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto \cos\theta=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Interpretar \cos\theta=-\tfrac{1}{2} para obter \theta. Conhecendo os ângulos notáveis da trigonometria: o cosseno de 60^\circ (ou \tfrac{\pi}{3} rad) é \tfrac{1}{2}. Como aqui temos -\tfrac{1}{2}, o ângulo entre vetores no intervalo principal [0,\pi] correspondente é
\theta=120^\circ=\frac{2\pi}{3}.
(Explicação rápida: no intervalo [0,\pi] o cosseno é decrescente de 1 a -1, então o valor negativo -\tfrac{1}{2} corresponde exatamente a 120^\circ.)

Passo 7

Resumo final e checagem rápida: produto escalar deu -3, normas deram \sqrt{6} e \sqrt{6}, daí \cos\theta=-\tfrac{1}{2} e \theta=120^\circ (ou \tfrac{2\pi}{3} rad). Tudo coerente.

Resposta

\theta=120^\circ
\theta=\dfrac{2\pi}{3}

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