Questão 25. Calcule o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
e pede o ângulo entre eles. As informações fornecidas são:
-
. -
.
A pergunta é: qual é o ângulo
entre
e
? Vou explicar passo a passo as fórmulas que uso e cada conta, bem devagarinho — como se estivéssemos resolvendo juntos na prova.
Passo 2
Definição e ideia principal (sem jargon): para dois vetores
e
em
o produto escalar (também chamado de dot product) é
onde
e
são as componentes dos vetores. Esse produto escalar relaciona-se com o ângulo
entre os vetores pela fórmula
onde
é o comprimento (norma) do vetor
e
é a norma de
. Portanto, primeiro vou calcular
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Substituindo as componentes:
Agora faço as contas uma a uma:
Somando:
Passo 4
Explicar e calcular as normas (
e
). A norma de um vetor
é dada por
Aplicando a
:
Aplicando a
:
Observação prática: aqui os dois vetores têm a mesma norma
, o que simplifica contas.
Passo 5
Usar a relação entre produto escalar e ângulo para achar
. A fórmula isolando
é
Substituindo os valores que já calculei:
Portanto
.
Passo 6
Interpretar
para obter
. Conhecendo os ângulos notáveis da trigonometria: o cosseno de
(ou
rad) é
. Como aqui temos
, o ângulo entre vetores no intervalo principal
correspondente é
(Explicação rápida: no intervalo
o cosseno é decrescente de
a
, então o valor negativo
corresponde exatamente a
.)
Passo 7
Resumo final e checagem rápida: produto escalar deu
, normas deram
e
, daí
e
(ou
rad). Tudo coerente.